Dejemos que $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ sea el espacio de Sobolev de todas las funciones de valor real sobre $\mathbb{R}^n$ cuya primera $k$ los derivados débiles están en $L^p(\mathbb{R}^n)$ . Supongamos que $$ \frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{k-l}{n}$$ y $k >l$ . El teorema de incrustación de Sobolev establece que el mapa de inclusión $$ i : W^{k,p} \rightarrow W^{l,q} $$ es un operador lineal acotado. Mi pregunta es la siguiente es $i$ ¿subjetivo? Por lo menos, ¿es la imagen de $i$ ¿Cerrado?
Respuesta
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No es surjetivo y la imagen no es cerrada.
Ejemplo: Tome $n = 2, k = 1, p = 1$ y por lo tanto $q = 2$ . Sea $f$ sea la función indicadora del cuadrado unitario $[-1,1]^2 \subset \mathbb{R}^2$ . Es en $L^\infty$ y por lo tanto en $L^2$ pero es evidente que su derivada distributiva no está en $L^1$ (es una medida con signo y apoyada en el límite del cuadrado). Dado que $C^\infty_0$ las funciones son densas en $L^2$ y pertenecen a $W^{1,1}$ , la imagen de la incrustación tampoco está cerrada. Sin embargo, es densa.
