Desigualdad tipo Cauchy-Schwarz

Question

Dejemos que $a_i, b_i >0$ para todos $n$ y $0 \le \lambda \le 1$

¿Es cierto el siguiente resultado para todos los $n$ ?

$$ \sum^n_{i=0} a^\lambda_i b^{1-\lambda}_i \le \left( \sum^n_{i=0} a_i \right) ^\lambda \left( \sum^n_{i=0} b_i\right) ^{1-\lambda} $$

Esto es trivial para $n=1$ pero me estoy atascando en el paso inductivo.

Answer 1

Paso 1: Es fácil (por ejemplo, tomando la derivada) demostrar que $x^\lambda \le \lambda x + 1 - \lambda \ \forall x > 0$ .

Paso 2: Sustitución de $x$ en el paso 1 con $\frac{x}{y}$ obtenemos $x^\lambda y^{1-\lambda} \le \lambda x + (1 - \lambda)y \quad \forall x,y > 0.$

Paso 3: Dejemos que $A = \sum_i a_i, B = \sum_i b_i$ . Aplicando la desigualdad del paso 2 para cada $i$ con $x = \frac{a_i}{A},y = \frac{b_i}{B}$ . Resumiendo el resultado $n+1$ desigualdades obtenemos el resultado.

Answer 2

Se desprende de la desigualdad de Hölder en los espacios euclidianos:

$$\|a\cdot b\|_1 \leq \|a\|_p \|b\|_q$$ para cualquier $p,q\in (1,\infty) : 1/p+1/q=1 $ y para cualquier $a,b \in \mathbb{R}^n$ .

Dejemos que $ 1/p = \lambda $ y $1/q = 1 - \lambda $ cuando $ \lambda \in (0,1)$ ya que el otro caso cuando $\lambda = 0$ o $1$ es trivial. Entonces dejemos que $a= \tilde{a}^\lambda, b= \tilde{b}^{(1-\lambda)}$ y hemos terminado