¿Cómo se produce esta serie?

Question

Todas las derivadas pueden expresarse exactamente en términos de series infinitas de diferencias hacia adelante, hacia atrás o centrales. Por ejemplo $$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\frac{1}{h^2} ( \delta_x^2 U - \frac{1}{12} \delta_x^4 U + \frac{1}{90} \delta_x^6 U + \cdots ) \tag{$ * $}$$ donde el subíndice $x$ denota la diferenciación en el $x$ -y las diferencias centrales están definidas por $$\delta_x U_{i,\,j} = U_{i+\frac{1}{2},\,j}-U_{i-\frac{1}{2},\,j}$$ y $$\delta_x^2 U_{i,\,j} = \delta_x(\delta_x U_{i,\,j})=U_{i+1,\,j}-2U_{i,\,j}+U_{i-1,\,j}, \quad \text{etc.}$$

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En la cita anterior, que es de un libro Se ha dicho que las ecuaciones diferenciales pueden escribirse como series infinitas utilizando diferencias finitas. Como se puede ver en el ( $*$ ), el autor ha conseguido la cuestión deseada utilizando las diferencias centrales. Cuanto más me esfuerzo por entender cómo el autor ha conseguido la serie mencionada, menos avanzo. Vale la pena mencionar que el libro no ha explicado sobre la forma más. Lo que he conseguido hasta ahora es que las diferencias centrales de segundo orden están escritas para tres nominales.

Diferencias centrales de segundo orden

Pero lo raro es que el denominador de la tercera expresión es 180, mientras que utilizando las diferencias centrales sería 90 en el propio texto del libro. Por favor, que alguien me aclare lo de la ( $*$ ) (¡¿Cómo se produce eso?!)

Answer 1

La siguiente es una descripción informal, pero debería darle una idea de cómo se descubre dicha fórmula.

Dejemos que $X$ sea un espacio de funciones de prueba sobre $\mathbb{R}$ que son suaves y lo suficientemente regulares como para que las siguientes descripciones tengan sentido. En $X$ definir un operador $D$ y una familia de operadores $T_a$ uno para cada $a \in \mathbb{R}$ de la siguiente manera:

• Para cualquier $\phi \in X, x, a \in \mathbb{R}$ , $$(D\phi)(x) = \frac{d\phi}{dx}(x)\quad\text{ and }\quad (T_a\phi)(x) = \phi(x+a)$$

es decir $D$ es el operador para tomar la derivada y $T_a$ es el operador que traduce la función para una cantidad $-a$ . Si aplicamos la expansión en serie de Taylor a $T_a\phi$ encontramos

$$(T_a\phi)(x) = \phi(x+a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} \frac{d^n\phi(x)}{dx^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} (D^n\phi)(x)$$ Así que, formalmente, tenemos

$$T_a = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}D^n = e^{aD}$$

En términos de $T_a$ el operador de diferencia central $\delta_x$ es simplemente $T_{\frac12} - T_{-\frac12}$ . Esto lleva a

$$\delta_x = e^{\frac{D}{2}} - e^{-\frac{D}{2}} = 2\sinh\left(\frac{D}{2}\right) \quad\implies\quad D^2 = \left(2\sinh^{-1}\left(\frac{\delta_x}{2}\right)\right)^2\tag{*1}$$

Si se lanza la función $(2\sinh^{-1}(t/2))^2$ a un CAS y expandirlo como una serie de potencias de $t$ ,
obtendrá

$$(2\sinh^{-1}(t/2))^2 = t^2 - \frac{t^4}{12} + \frac{t^6}{90} - \frac{t^8}{560} + \frac{t^{10}}{3150} - \cdots$$

Sustituir esta expansión en la RHS de $(*1)$ y aplicar una escala adecuada (porque $h \ne 1$ ), usted se obtiene la misteriosa representación de $\frac{d^2}{dx^2}$ como una serie de potencias de $\delta_x^2$ .

Sobre la segunda parte de tu pregunta, no tengo ni idea de qué son esas expresiones después de la línea the central-differences of second order are written for three nominal en su pregunta. Los coeficientes para el orden par diferencias de orden superior Sé que son todos los coeficientes binomiales y que forman una fila del triángulo de Pascal.