Opiniones sobre materiales de matemáticas fundamentales para enseñar a niños de 8º y 9º grado en un campamento de verano

Question

Me han pedido que enseñe matemáticas/física a unos cuantos niños de 8º y 9º grado para un campamento de verano. He estado pensando en ello y me he dado cuenta de que podría hacerlo de dos maneras: Una de ellas es darles rompecabezas recreativos aleatorios que provoquen la naturaleza de la resolución de problemas (Esta es la forma en que comencé mi viaje a las matemáticas). La otra forma es darles ideas radicales de las matemáticas disfrazadas de rompecabezas que provocan el pensamiento, para darles una idea de cómo son las teorías matemáticas. Esto último es un intento de tender un puente entre la matemática teórica y la resolución divertida de problemas. Finalmente decidí seguir un híbrido de los dos y enseñar una mezcla de problemas tipo olimpiada, rompecabezas y material teórico.

He entrenado a estudiantes para las olimpiadas de matemáticas antes y tengo una buena fuente de problemas para las olimpiadas gracias a mis libros, internet y demás, así que no estoy buscando problemas para las olimpiadas.

He visto ideas aquí Pero, como he dicho, estoy buscando ideas fundamentales disfrazadas de problemas. Ya que hay muchos expertos que visitan este sitio, estoy solicitando conocer problemas simples no triviales que motiven teorías y esos problemas deben ser explicables para niños de 8º/9º grado. Entonces, ¿cómo puedo introducir el Cálculo, la Geometría, la Combinatoria y el Álgebra con un problema divertido? Incluso si existe un teorema con una demostración complicada, sugerir un caso especial que sea fácil de ilustrar será suficiente.

Por último, no he visto que nadie intente fomentar las matemáticas en mi localidad, y esta es una idea nueva para mí también. Así que si crees que es una mala idea ("8º/9º grado es demasiado pronto para las matemáticas profundas", etc.), me encantaría escuchar tus críticas.

P.D.: Por los comentarios que he recogido y por la forma en que se enseñan las matemáticas según el plan de estudios, los que tienen más talento creen que las matemáticas son aburridas pero son una herramienta importante y los demás tienen miedo de las matemáticas. Nadie parece disfrutarlas tanto y muchos de ellos tienen la opinión desinformada de que las matemáticas de grado/pregrado son aburridas. Básicamente quiero que vean el lado divertido de las interesantes matemáticas de posgrado y que luego hagan una elección educada para su futuro. Por supuesto, 8º/9º grado puede ser demasiado pronto para exponer a los niños a las matemáticas de grado. Sin embargo, quiero hacerlo lo mejor posible. Así que, por favor, ayúdenme.

Gracias,

Isomorfismo

Answer 1

El libro Círculos matemáticos Hablando de estar "involucrado", la combinatoria está justo ahí para el propósito.Aunque no estoy seguro de que "Matemáticas de Posgrado" tendrá un profundo impacto en ellos.De hecho, las matemáticas de pregrado como la teoría de grupos que es bastante interesante es bastante atractivo y veo un montón de octavo y noveno grado de la lectura de Artin y realmente demostrar las cosas, mientras que acabo de empezar con el material de pregrado. Pero lo que es común en ellos es que han probado las matemáticas superiores y las olimpiadas, lo que ha servido de catalizador para su interés en el tema.

Sin embargo, no estoy seguro de que ésta sea la edad en la que se deciden a ser teóricos de los números o topólogos o cualquier otro campo de especialización. Cuando intentas guiarles, puedes acabar matando su interés por algunas áreas de las matemáticas, así que, ¿por qué no dejarles elegir?

Por cierto, recuerdo que cuando era un estudiante de noveno grado, estaba fascinado por lo que la aritmética modular puede hacer.Los gráficos pueden ser fácilmente visualizados.Más importante aún, usted es un mejor juez que yo; yo soy sólo un chico en la escuela secundaria al azar cayendo.Espero que eso ayude, sin embargo.User21820 ha incluido realmente algunas matemáticas en su post.

Answer 2

Aquí tienes dos posibles actividades que ilustran dos conceptos matemáticos fundamentales, la biyección y la inducción. Hay muchos otros conceptos importantes, como la contradicción, la delimitación, las formas canónicas y los valores extremos, que en mi opinión son más fundamentales que los "hechos y métodos básicos" de cada campo.

Haz que cada grupo forme un árbol binario cualquiera, empezando por una persona que sea la raíz, y en el que cada nueva persona sólo pueda incorporarse si es sostenida por alguien con una mano libre. A continuación, diles que cuenten el número total de manos libres. ¿Es siempre el mismo para cualquier árbol? Una forma es contar el número total de manos menos el número total de manos "usadas", y el número total de manos usadas es exactamente el número de personas excepto la raíz. ¿Qué pasa si algunas personas sólo pueden usar una mano o ninguna? ¿Pueden idear una forma de contar el número total de manos libres en función del tamaño del grupo y de las restricciones de cada persona? Más adelante puedes explicarles las diferentes formas de ver el problema. La forma anterior trata a cada persona y a la mano que la sostiene como una unidad. Otra forma es tratar a cada persona con sus manos (inicialmente libres) como una unidad y considerar lo que ocurre con el tamaño del árbol y el número de manos libres cuando se añade. Esto se basa en la inducción, por lo que es un buen lugar para mencionarlo también.

Para la siguiente actividad, haz que todos formen un gran árbol de manera que todos estén lo más cerca posible de la raíz. En otras palabras, minimizar la profundidad. Luego puedes explicar que esto equivale a maximizar el número de personas que pueden estar unidas al árbol con una determinada profundidad. Entonces puedes mostrar explícitamente cómo funciona una prueba por inducción del tamaño máximo, así como dejar claro por qué no se puede "partir de un árbol de profundidad $d$ y construir un árbol de profundidad $d+1$ ...", que es el error más común de los alumnos e incluso de los profesores. En su lugar, hay que empezar pidiéndoles que formen cualquier árbol de profundidad al azar $d$ y luego mostrar que se puede eliminar la raíz, lo que resulta en dos árboles que, por la hipótesis de inducción, deben tener cada uno a lo sumo $2^d-1$ personas, por lo que el árbol original debe haber tenido como máximo $2(2^d-1)+1=2^{d+1}-1$ personas, así que por inducción la fórmula es correcta. Si los alumnos son rápidos en comprender esto, se puede mostrar una prueba alternativa eliminando a todos los que tienen dos manos libres. Entonces la profundidad disminuye en uno y el árbol resultante tiene como máximo $2^d-1$ personas, y para el juego anterior tenía como mucho $2^d$ manos libres, por lo que debe haber eliminado como máximo $2^d$ personas, por lo que el árbol original tenía como máximo $(2^d-1)+2^d=2^{d+1}-1$ personas.

Estoy seguro de que si los alumnos entienden bien los dos ejemplos anteriores, comprenderán mucho mejor el conteo y la inducción que con todos los ejemplos del programa escolar. Para un ejemplo aún más avanzado, puedes dejar que compitan para volver a dibujar un gráfico plano con sólo aristas rectas que no se interceptan. ¿Siempre es posible? Pídeles también que averigüen el número máximo de aristas en un grafo plano finito y que intenten demostrarlo. La solución más rápida que conozco es demostrar primero que se puede "triangular" cualquier grafo plano añadiendo aristas. Por último, también podrías explorar los grafos en los que cada vértice tiene el mismo grado.