Así que, como usted ha notado, este concepto es absolutamente omnipresente.
Hay una noción general de "isomorfo objetos son iguales (para todos los intentos y propósitos)". Particularmente para categorists, nociones que distinguir entre isomorfo (o, más en general, el equivalente) de los objetos se refieren a menudo como "el mal". En la categoría de teoría, el principio que usted describe es el llamado principio de equivalencia (o principio de isomorfismo para una noción más débil). La mayoría de las definiciones de la categoría de la teoría del uso estándar de la teoría de conjuntos y por lo tanto, fácilmente permitir el mal definiciones. Como tal, no hay ningún principio de la equivalencia de dichas definiciones; usted puede fácilmente propiedades del estado, que no poseen en virtud de la equivalencia de las categorías (o incluso isomorphisms de categorías). Esto es debido a que, en el estándar de la teoría de conjuntos, no es una noción global de la igualdad que siempre será capaz de distinguir entre la falta de igualdad de isomorfo objetos.
Si usted mira en el enlace de arriba, te darás cuenta de un montón de referencias a Homotopy Tipo de Teoría. Este es un muy nuevo y muy emocionante de desarrollo que aborda directamente esta cuestión. La parte más importante para usted es el Univalence Axioma. El Univalence Axioma dice literalmente que, en el contexto de homotopy tipo de teoría, la igualdad es equivalente a la equivalencia. Así que todo lo que el tratamiento de isomorfo objetos iguales es completamente justificados en homotopy tipo de teoría. Por sí mismo que no iba a ser tan emocionante, pero homotopy tipo de teoría es un (relativamente menor en algunos aspectos) extensión de Martin Löf tipo de teoría que ha sido estudiado por tipo de teóricos y científicos de la computación e implementado durante décadas. Es la lógica de la fundación para el Coq prueba asistente. Esto significa que 1) tenemos implementaciones de esta lógica ya, 2) esta lógica se demuestra que es capaz de formalizar cualquier noción matemática, y 3) personas ya están haciendo matemática real en este. En otras palabras, esta encarnación del principio de equivalencia abarca efectivamente todo de las matemáticas (en la práctica), y homotopy tipo de teoría proporciona una posible "fundaciones" para las matemáticas que mucho más directa de los partidos de cómo los matemáticos realmente hacer matemáticas.
Hay otros enfoques para esto además de homotopy tipo de teoría. El enlace arriba mencionado PLIEGUES que es un enfoque más conservador, pero Makkai del trabajo generalmente es digno de la comprobación hacia fuera.
Dar un paso atrás un poco, la razón de que no hay ningún teorema como usted menciona, en la categoría de teoría (como debe ser claro con la anterior) es que no es un teorema acerca de la categoría de teoría. Es un teorema acerca de lo meta-lógica que se utilizan para definir la categoría de la teoría y los predicados $P$. Hay tres rutas para ir desde aquí. Usted puede dar en este tipo de propiedad que es, técnicamente, lo que casi todo el mundo hace para la categoría de teoría. Usted puede formular una lógica que es fácil de especificar y para que la correcta forma es fácil de comprobar y, a continuación, probar la propiedad acerca de esta lógica. Esto es esencialmente lo que sucede en el nivel informal y en ocasiones se ha formalizado. Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente que los teoremas de la aritmética de Peano no dependen de lo que exactamente son los números, o que el número racional aritmética está bien definido. El problema con esta ruta es que es restrictiva; sólo relativamente simple de las propiedades pueden ser establecidos y a menudo incluso entonces sólo torpemente. La tercera ruta, entonces, es hacer un rico (pero difícil especificar) de la lógica, que permite de forma natural y directa de expresar lo que quieras, pero cuya correcta forma es (relativamente) difícil de verificar. Esta es la ruta homotopy tipo de teoría de la toma. (Los PLIEGUES que se encuentra entre la segunda y la tercera ruta). Esto es lo que más o menos lo que sucede en un nivel informal para la mayoría de los trabajos matemáticos. Nominalmente la teoría de conjuntos es la lógica que estamos trabajando en el, pero se entiende que cortés empresa no pregunta si $2\in 3$ o si $A\times B \times C$ $(A\times B)\times C$ o $A\times(B\times C)$ o algo más. Hay una noción implícita de/lenguaje para "razonable" preguntas para hacer, y para aquellos "razonable" preguntas isomorfo objetos no son distinguidos.
