Problema de invariantes de formas binarias de grado $d$

Question

Esta es mi segunda pasada por Eisenbud para las partes que no entendí completamente en la primera ronda. Se trata del capítulo 1, sección 1.3 Teoría invariante. Está relacionado con el problema de los invariantes de las formas binarias de grado $d$

Se sugiere considerar $F=\sum_{i\leq d}x_is^{d-i}t^i$ grado general $d$ forma en variables $s,t$ con $x_i\in k[x_0,\dots, x_d]$ . Considere $s=as'+bt',t=cs'+dt'$ transformación en $s,t$ . Se obtiene una nueva combinación lineal de $x_i$ con un conjunto diferente de coeficientes. Si se restringe a la matriz formada por $a,b,c,d$ en $SL_2(k)$ se obtiene un $SL_2(k)$ acción sobre $k[x_0,\dots, x_d]$ .

Q1. ¿Qué anillo es $F$ ¿mentir aquí? $k[x_0,\dots, x_d,s,t]$ o $k[x_0,\dots, x_d]$ ? Supongo que una transformación $F$ y obtener un nuevo coeficiente de $x_i$ y esto define una acción de $SL_2(k)$ en $k[x_0,\dots, x_d]$ . Creo que esto es lo que quiere decir el autor.

Q2. Por qué es natural considerar $F$ aquí, en lugar de $x_0s^d$ u otra titulación $d$ términos en términos de $s,t$ como coeficiente de $x_i$ ?

Q3. ¿Cuál es el significado de $k=C$ (número complejo) aquí? ¿Diagonalidad o similitud?

Q4. ¿Qué importancia tiene esta parte de la teoría en relación con la geometría?

Answer 1

1. No debes pensar en $F$ como un único polinomio fijo, sino como un vector general en el espacio vectorial $V_d$ de dimensión $d+1$ que contiene todos los grados homogéneos $d$ -formas en las variables $s$ y $t.$ El $x_i$ son sus coordenadas en la base estándar dada por los monomios $s^{d-i}t^i.$ Por lo tanto, el autor también elige $x_i$ como nombre de las funciones de coordenadas en el espacio $V_d\cong k^{d+1}.$ El grupo $\mathrm{SL}_2$ actúa sobre $V_d$ desde la derecha a través de \begin{align*} V_d \times \mathrm{SL}_d & \longrightarrow V_d \\ (F,A) &\longmapsto F\circ A \end{align*} Denotando por $R_A:V_d\to V_d$ el mapa $F\mapsto F\circ A$ obtenemos una acción inducida a la izquierda en $k[V_d]=k[x_0,\ldots,x_d]$ a través de \begin{align*} \mathrm{SL}_d \times k[V_d] & \longrightarrow k[V_d] \\ (A,\phi) &\longmapsto \phi\circ R_A \end{align*} Esto puede ser bastante confuso (con la acción izquierda y derecha), pero podemos comprobar que $$ (A.B.\phi)(F) = (\phi\circ R_B \circ R_A)(F) = \phi(F\circ A\circ B) = (\phi\circ R_{AB})(F) = (AB.\phi)(F). $$
2. Como he dicho, no pienses en $F$ como un elemento particular.
3. $k=\Bbb C$ se suele elegir por dos razones en este contexto para mantener la sencillez: Es algebraicamente cerrado y de característica cero. Tampoco es necesario considerar esta acción de grupo, se puede definir sobre cualquier campo o incluso anillo conmutativo: Sin embargo, en cuanto se empieza a plantear preguntas, se llega mucho más lejos si el campo base tiene estas dos ventajas. Nótese que ni siquiera sobre $\Bbb C$ toda matriz es automáticamente diagonalizable. Sin embargo, toda matriz es triangularizable, y esto es porque es algebraicamente cerrada.
4. Una pregunta bastante amplia. Sin embargo, la acción natural de la izquierda de $\operatorname{SL}_2$ en $W=k^2$ debería parecerte bastante geométrico. La primera acción que consideramos aquí es la acción sobre $k[W]_d=k[s,t]_d=V_d$ inducido por esa acción. Está considerando cómo las formas polinómicas en $W$ se comportan bajo la precomposición con un operador lineal. Estudiando $k[V_d]$ es entonces el paso natural algebro-geométrico en este empeño: Para entender cómo actúa el grupo en $V_d$ , se entiende cómo actúa sobre las funciones polinómicas en ese espacio. Comprendo que esto parezca una torcedura. Sin embargo, con un poco de paciencia te acostumbrarás a ello .