La convergencia de la secuencia $(1/(n^a\ln^b(n)))$ , donde $a,b\in\mathbb{R}$

Question

Dejemos que $a,b\in\mathbb{R}$ . Quiero investigar la convergencia/divergencia de la secuencia $(a_n)$ definido por $a_n=1/(n^a\ln^b(n))$ para $n\geq 2$ .

Usando WolframAlpha, sospecho que esta secuencia converge a $0$ cuando $a>0$ y $b\in \mathbb{R}$ mientras que tiende a infinito cuando $a<0$ y $b\in \mathbb{R}$ .

Intentaré probar la parte de la convergencia. Empezamos con el caso $a>0,b<0$ .

En primer lugar, tenemos $a_n=[\ln(n)/n^{-a/b}]^{-b}$ . Aquí está $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^{-a/b}}\stackrel{L.H.}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{(-a/b)n^{-a/b-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(-b/a)}{n^{-a/b}}=0, $$ desde $-a/b>0$ y L.H. significa la regla de L'Hospital. Esto implica que $a_n\to 0^{-b}=0$ como $n\to\infty$ .

Ahora, dejemos que $\beta\in\mathbb{R}$ sea tal que $b<\beta$ . Tenemos $$ \frac{\ln^{-\beta}(n)}{n^a}=\frac{1}{\ln^b(n)}\frac{\ln^{b-\beta}(n)}{n^a}. $$ La secuencia $(1/\ln^b(n))$ tiende a infinito, mientras que $(\ln^{b-\beta}(n)/n^a)$ converge a $0$ , ya que $b-\beta<0$ por el argumento anterior. Así que $\frac{\ln^{-\beta}(n)}{n^a}\to 0$ como $n\to\infty$ . Desde $\beta$ puede ser negativa o positiva, concluimos que la secuencia $(\frac{\ln^{-\beta}(n)}{n^a})$ converge a $0$ cuando $a>0$ y $\beta\in \mathbb{R}$ .

¿Es válida esta prueba, o/y hay una prueba mejor? Si hay algún error en la prueba, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Como alternativa, ya que $e^x > x \implies \ln x < x$ que tenemos para $a >0$ y $b < 0$ ,

$$0 <\frac{1}{n^a (\ln n)^b} = \frac{(\ln n )^{|b|}}{n^a} = \frac{(\frac{2|b|}{a}\ln n^{\frac{a}{2|b|}} )^{|b|}}{n^a} < \left(\frac{2|b|}{a}\right)^{|b|}\frac{n^{a/2}}{n^a} \longrightarrow_{n \to \infty} 0$$