Es un hecho muy conocido que la Forma Normal de Smith ha resultado útil a la hora de abordar el desarrollo del teorema de la estructura de los grupos abelianos finitamente generados. En este contexto, existe una aproximación que aprovecha el siguiente resultado, que de hecho es un caso muy particular de un teorema mucho más general relacionado con un tipo especial de anillos.
Si $A$ es un $m\times n$ con coeficientes enteros, entonces existen dos matrices $P$ de tamaño $m\times m$ y $Q$ de tamaño $n\times n$ , ambos con entradas enteras y $\det =\pm 1$ , de tal manera que $PAQ$ es una matriz diagonal con entradas diagonales $d_1,d_2,\ldots,d_k$ ( $k<\min(m,n)$ ) tal que $d_1\mid d_2\mid \ldots\mid d_k$ y cada $d_i$ es un número entero positivo. Además, $d_1\mid \ldots\mid d_k$ son únicas.
No tengo ningún problema con la demostración de la parte de "existencia" del último teorema. Sin embargo, no consigo dar una prueba de la parte de "unicidad"; a lo sumo, sólo puedo demostrar que si $d'_1\mid\ldots\mid d'_{\ell}$ tienen la misma propiedad, entonces $d'_1 = d_1$ (ambos son el gcd de las entradas de $A$ ).
La idea no es dar una prueba utilizando teoremas de estructura, sino sólo cualquier tipo de prueba "muy elemental" (tratando, si es posible, sólo con $\mathbb{Z}$ propiedades, y no hablar de anillos/módulos generales).
