Una desigualdad sobre las normas de los campos vectoriales en las variedades riemannianas

Question

Dejemos que $g_{ij}$ sean las componentes de un tensor simétrico de rango 2 positivo definido (métrica en una variedad riemanniana). Sea ${C^i}$ y ${ \beta ^i }$ sean componentes de un campo vectorial sobre él, el primero de los cuales es una función de una variable $t$ y que $N$ y $M$ sean dos constantes positivas. Ahora, que se cumpla la siguiente desigualdad,

$$\sqrt {g_{ij} \left( \frac{dC^i}{dt} + \beta ^i \right) \left( \frac{dC^j}{dt} + \beta ^j \right)} < N < M $$

Y existe una constante $B$ tal que $\sqrt{g_{ij} \beta ^i \beta ^j}$ está uniformemente limitada por $B$ .

Entonces, aparentemente, lo siguiente es cierto,

$$\sqrt {g_{ij} \frac{dC^i}{dt} \frac{dC^j}{dt} } \leq N + \sqrt{g_{ij} \beta ^i \beta ^j} \leq M + B $$

¿Cómo se deduce esto?

Answer 1

Esto es simplemente la desigualdad del triángulo:

$$ \lVert\frac{dC}{dt}\rVert = \lVert\frac{dC}{dt} + \beta - \beta\rVert \le \lVert\frac{dC}{dt} + \beta \rVert + \lVert-\beta\rVert < N + \lVert\beta\rVert < M + B$$