Demostrar el isomorfismo de los grupos cíclicos $C_{mn}\cong C_m\times C_n$ mediante consideraciones categóricas

Question

Como el título sugiere, estoy tratando de probar $C_{mn}\cong C_m\times C_n$ cuando $\gcd{(m,n)}=1$ , donde $C_n$ denota el grupo cíclico de orden $n$ utilizando consideraciones categóricas. Específicamente, estoy tratando de mostrar $C_{mn}$ satisface la propiedad característica de producto de grupo, lo que implicaría entonces un isomorfismo ya que ambos objetos serían objetos finales de la misma categoría.

$C_{mn}$ viene con homomorfismos de proyección, a saber, los mapas $\pi^{mn}_m: C_{mn} \rightarrow C_m$ y $\pi^{mn}_n: C_{mn} \rightarrow C_n$ que se definen mediante la asignación de elementos de $C_{mn}$ al subíndice mod de las clases de redistribución. Sin embargo, a partir de aquí me he perdido un poco, ya que no veo dónde $m$ y $n$ ser relativamente primo entra en juego. Supongo que esto haría que el mapa de productos conmutara, pero no lo veo. ¿Alguna idea?

Nota

Esto es no los deberes.

Además, entiendo que hay otras formas de demostrarlo, concretamente considerando el subgrupo cíclico generado por el elemento $(1_m,1_n) \in C_m\times C_n$ y observando que el orden de este elemento es el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ y luego usando su relación con $\gcd{(m,n)}$ . Esto muestra entonces $\langle (1_m,1_n)\rangle$ tiene orden $mn$ y es cíclico, por lo que debe ser isomorfo a $C_{mn}$ . También, $C_{mn}\cong C_m\times C_n$ tiene orden $mn$ Así que $C_{mn}\cong C_m\times C_n=\langle (1_m,1_n)\rangle$ , lo que completa la prueba.

Answer 1

Sólo hay que seguir la definición:

Dejemos que $X$ sea un grupo cualquiera, y $f:X\to C_n$ , $g:X\to C_m$ homomorfismos. Ahora se necesita un único homomorfismo $h:X\to C_{nm}$ lo que hace que ambos triángulos con $\pi_n$ y $\pi_m$ de viaje.

Y la construcción de este $h$ requiere básicamente el Teorema del Resto Chino (y es esencialmente lo mismo que construir el isomorfismo $C_n\times C_m\to C_{nm}$ de inmediato): para cada par $(f(x),g(x))$ tenemos que asignar un único $h(x)\in C_{nm}$ de tal manera que, por así decirlo, $h(x)\equiv f(x) \pmod n$ y $h(x)\equiv g(x) \pmod m$ .

Answer 2

El escenario adecuado aquí son los grupos abelianos. La secuencia exacta corta $0 \to C_n \to C_{mn} \to C_m \to 0$ se divide, siendo el morfismo de división a la derecha $1 \mapsto n$ (comprobar el orden por el CRT). Aplicar el lema de división.