Cuáles son convergentes o divergentes

Question

Decida cuál de las siguientes secuencias es convergente o divergente. Encuentra el límite si existe.

( Creo que el primero gira de $1$ y $-1$ por lo que sería divergente y el segundo sólo gira de ser $0$ y $1$ ). $$ \begin{array}{rrcl} a)& x_{k} & = & \left(\,-1\,\right)^{k^{2}} + {1 \over k^{3}} \\[2mm] b)& x_{k + 1} & = & 1 - x_{k}^{2}\,,\qquad\qquad x_{1} = 1 \end{array} $$

Answer 1

Tiene razón al notar que $x_k = (-1)^{k^2}+\frac{1}{k^3}$ se acerca a $-1$ y $1$ de forma alterna (porque el $\frac{1}{k^3}$ término se acerca a cero), pero es un error utilizar la palabra converge . Si una secuencia alterna entre dos valores como este, entonces consideramos que la secuencia es divergente (necesita acercarse a un solo valor para ser convergente ).

Answer 2

El primero, efectivamente no tiene límite por la razón que mencionas.

Los primeros términos de la segunda secuencia son:

$$x_1=1\,,\,x_2=1-1^2=0\,,\,x_3=1-0^2=1\,,\,x^4=1-1^1=0\;,\ldots$$

Es fácil demostrar (por ejemplo, por inducción), que esta secuencia es $\;\{1,0,1,0,1,0,\ldots\}\;$ y, por lo tanto, tampoco tiene límite.