La versión de cálculo funcional del teorema espectral

Question

En el libro Análisis ahora de Pedersen, el Teorema Espectral es que, para un operador normal $T$ actuando en un espacio de Hilbert $H$ existe un isomorfismo estelar isométrico entre $C(\text{sp}(T))$ y el $C^*$ -que es generada por $I$ y $T$ . Este isomorfismo estelar se denomina cálculo funcional continuo para $T$ .

Tengo la impresión de que ésta es la primera -o al menos una de las primeras- versión del Teorema Espectral (para el entorno de dimensión infinita). En primer lugar, ¿qué nos dice esto, es decir, por qué habría que preocuparse por un cálculo funcional? En segundo lugar, ¿cómo se relaciona esto con la versión más común del Teorema Espectral?

Answer 1

El primer teorema espectral fue la representación de von Neumann de un operador autoadjunto $A$ $$Ax = \int_{-\infty}^{\infty} \lambda dE(\lambda)x$$ donde $E(\lambda)$ es una función ortogonal no decreciente con valor de proyección de $t$ en $\mathbb{R}$ y $x\in\mathcal{D}(A)$ .

Las versiones especializadas anteriores estaban orientadas a la comprensión de las expansiones de funciones propias integrales y discretas asociadas a los problemas de EDO de Sturm-Liouville, y a las ecuaciones diferenciales parciales que dieron lugar a los problemas de Sturm-Liouville mediante la separación de variables.