Análisis matemático - se busca la recomendación de un libro de texto

Question

Una pregunta bastante subjetiva, lo admito, pero estoy buscando una recomendación para un libro de texto que me ayude a mejorar mi comprensión del análisis matemático.

Vengo de un entorno informático, con un título de nivel universitario. Mis estudios de matemáticas en el instituto se centraban en la mecánica/física más que en las matemáticas puras y la estadística. He seguido cursos formales de licenciatura sobre procesamiento de señales, y series de conferencias informales de postgrado posteriormente - por interés personal, no por crédito. Estoy seguro de que tengo las habilidades necesarias para digerir cualquier texto bien escrito de nivel universitario o de maestría.

Reconozco que soy (relativamente) débil con respecto al análisis cuando leo las páginas de Wikipedia de temas como:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_%28mathematics%29
• http://en.wikipedia.org/wiki/Mollifier
• http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function
• etc. etc.

Me interesa reforzar mi comprensión de los principios del análisis matemático y, a partir de ahí, mejorar mi comprensión de las distribuciones y su relación con las funciones analíticas y no analíticas. Aunque reconozco el valor de las demostraciones, y no busco un libro de referencia del que extraer fórmulas, mi principal interés es la aplicación práctica de la teoría más que su elegante justificación abstracta. Por esta razón, me atraen más las presentaciones con justificaciones intuitivas que formales de los teoremas.

¿Sugerencias?

Answer 1

Como mínimo deberías empezar con el libro de Rudin Principios del análisis matemático . Es abstracto, es formal, pero con muchas cosas matemáticas, el diablo está en los detalles. La "intuición" puede llevarnos fácilmente por el mal camino si no estamos preparados para respaldarla con una comprensión sólida. (La intuición también suele desarrollarse después de hacer un montón de problemas en casa ;p .)

Entonces, ya que estás interesado en desarrollar la intuición "pura", te sugeriría que leyeras Contraejemplos en el análisis por Gelbaum y Olmsted. El análisis es, en gran medida, ingenuamente intuitivo... excepto cuando no lo es. Y si quieres llegar a comprender el análisis matemático adquiriendo intuición, es mejor estar prevenido sobre dónde pueden equivocarse tus intuiciones.

Answer 2

Para las distribuciones y los mollares, quizá quieras consultar "Análisis funcional y aplicaciones" de Kesavan.

Answer 3

No conozco tu formación, eres ahora estudiante o graduado, pero si quieres entender y tener una sólida formación en Análisis, como dijo Willie Wong, Rudin's Principio de análisis matemático es el mejor. Sin embargo, creo que debería echar un vistazo a Análisis matemático de Zorich, publicado por Springer en la serie Universitext. Este dos volúmenes cubre desde la base hasta temas bastante difíciles.

Answer 4

Yo diría que el de Rudin es posiblemente para lectores de mayor madurez matemática. Por madurez matemática me refiero al menos a un sentido del panorama general de las matemáticas puras.

Si su formación carece de esta característica, le sugiero que comience con el Cálculo de Apostol. No se deje engañar por el título. El libro puede darte tanto la teoría introductoria como las técnicas de Cálculo, donde la parte de teoría puede darte exactamente la sensación de hacer el análisis manualmente.

Como otra opción, recomiendo el Análisis Real de Bartle (todos los libros mencionados aquí se pueden encontrar fácilmente en Internet simplemente escribiendo las palabras clave que se dejan aquí). Este libro de Bartle ofrece un tratamiento riguroso del análisis introductorio (sin teoría de la medida). Para mí, también es una gran elección.

A continuación, puede pasar a la teoría de la medición y a otras partes avanzadas del análisis.

Queda advertido: Para adentrarse en las matemáticas puras es necesario conocer la lógica y la teoría de conjuntos de forma satisfactoria.

Answer 5

Incluso el "bebé Rudin" parece un poco intimidante a este nivel. Sinceramente, no tengo una buena sugerencia para el "análisis de primer año", que en muchas universidades se llama "cálculo avanzado". Yo utilicé La vía del análisis de Strichartz, pero no me entusiasmó.

Después de eso recomendaría de todo corazón Análisis real por Royden y Fitzpatrick. Si necesita un análisis complejo, utilice otro libro. (Nuevamente no tengo un buen ejemplo aquí, usé Gamelin pero realmente no le importaba).