Esbozos de categorías de modelos de teorías completas

Question

En Categorías accesibles : los fundamentos de la teoría de los modelos categóricos En el capítulo 3, p.58, Makkai y Paré afirman que existe "una identificación (obvia) de una clase de esbozos de modo que las categorías Mod(S) para tales esbozos S son precisamente las categorías de modelos de teorías completas con incrustaciones elementales como morfismos".

En otros términos, parece que existe una contrapartida "esbozable" de la propiedad de completitud de una teoría formal. Pero no hay ninguna referencia explícita en el libro.

¿Cuál puede ser esta propiedad teórica para tal identificación? ¿Existe algún documento en el que esta identificación sea explícita?

Muchas gracias, de antemano.

Answer 1

No es una respuesta directa, sino que consiste en dos referencias (en el mismo libro) que al juntarlas proporcionan una prueba de que todas las categorías elementales son esbozables.

El libro es "Locally Presentably Categories and Accessible Categories" de Adamek y Rosicky.

La primera referencia, el Teorema 5.42 y el Teorema 5.44. Estos teoremas muestran conjuntamente que una categoría es accesible si y sólo si es equivalente a una cateoría cuyos objetos son modelos de alguna teoría $T \subseteq L_{\kappa,\kappa}$ y cuyos morfismos consisten en todas las embebidas que preservan todas las fórmulas de $L_{\kappa, \kappa}$ .

En particular, esto implica que para cualquier teoría de primer orden $T$ la categoría cuyos objetos son de modelos de $T$ y cuyos morfismos son incrustaciones elementales es accesible.

La segunda referencia es el capítulo 2F, y en particular el teorema 2.58 y el teorema 2.60, donde demuestran que una categoría es accesible si y sólo si es bosquejable.