Resolver para $x>0$ la ecuación $xy''-2y'+\frac{1}{x}y=1.$

Question

Se trata claramente de una ecuación diferencial de Euler-Cauchy, ya que al multiplicar por $x$ da

$$x^2y''-2xy'+y=x \quad \quad \quad(1).$$

El polinomio complementario es $p(m)=m^2-3m+1$ con raíces $m_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ y $m_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$ Así que la solución complementaria es $y_c=Ax^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+Bx^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}.$ A partir de aquí tengo que utilizar la fórmula de la solución particular:

$$y_p=-y_1\int\frac{y_2\cdot g(x)}{W(y_1,y_2)}dx+y_2\int\frac{y_1\cdot g(x)}{W(y_1,y_2)}dx.$$

Sé que $y_1=x^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}},\ y_2=x^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ y $g(x)=x/x^2=1/x.$ El Wronskian es

$$W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x^2 & x \\ 2x & 1\end{vmatrix}=x^2-2x^2=-x^2.$$

Así que:

$$y_p=-x^2\int\frac{x\cdot \frac{1}{x}}{-x^2}dx+x\int\frac{x^2\cdot \frac{1}{x}}{-x^2}dx=x^2\int\frac{1}{x^2}dx-x\int\frac{1}{x}dx=-x-x\ln{x}.$$

Así que mi solución general debería ser

$$y(x)=y_c+y_p=Ax^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}+Bx^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-x\ln{x}-x,$$

pero WolframAlpha no está de acuerdo. ¿Por qué?

EDITAR:

Ok ahora que tengo raíces correctas para el polinomio complementario, este método parece difícil de usar debido a las feas derivadas de $y_1$ y $y_2$ .

¿Alguna otra sugerencia?

Answer 1

Se trata de una EDO de tipo Cauchy-Euler. Se puede utilizar la subsbstitución $x=e^t$ o $t=\ln x\,$ , $x>0$ . Con este cambio de variables puedes reducir tu ecuación a una con coeficientes constantes. Esto da:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$$ y $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{x^2}\bigg(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\bigg).$$

Sustituyendo esto en la ecuación se obtiene la siguiente ecuación $$y''-3y'+y=e^t,$$

que se puede resolver mediante el método de los coeficientes indeterminados ( para encontrar $y_p(t)$ ) así como la variación de los parámetros.

Answer 2

Tuviste $$y_1=x^{\frac{3+\sqrt{5}}{2}},\ y_2=x^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$ ¿Por qué ha cambiado su $y_1$ y $y_2$ en su Wronskian? $$W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x^2 & x \\ 2x & 1\end{vmatrix}=x^2-2x^2=-x^2.$$