Actualmente estoy estudiando para mi Álgebra Examen de Calificación. Me encontré con el siguiente problema y estoy atascado en dónde empezar:
Demostrar que $x^5-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}_{31}$.
He encontrado una pregunta similar, $x^3-9;$ sin embargo, con el grado $5$, lo que demuestra que no hay lineal factor de no demostrar que $x^5-2$ es irreductible. Cualquier sugerencias o información útil sería bueno. Gracias!
El OP comprobado previamente que $x^5 - 2$ no tiene raíz en $\mathbb{Z}_{31}$, equiv. no lineal factor.
Lubin la Respuesta contiene la clave de la observación de que ninguna raíz de $\alpha$ $x^5 - 2$ en un campo de extensión de $\mathbb{Z}_{31}$ sería una vigésima quinta de la raíz de la unidad, dado que $2$ es ya una quinta parte de la raíz de la unidad en la $\mathbb{Z}_{31}$. De hecho, $\mathbb{Z}_{31}$ contiene las cinco raíces de $x^5-1$, es decir,$1,2,4,8,16$, como muchos como un campo puede tener para un quinto grado del polinomio (por Fondo. Thm. de Álgebra).
El OP ha desconcertado a cabo un argumento para terminar este Examen de Calificación basado en problemas en el orden de la multiplicación de grupo de cualquier cuadrática de extensión de campo.
Si $\alpha$ satisfecho un cuadrático irreducible factor de $x^5 - 2$, dicen polinomio $p(x)$, entonces la simple extensión de campo $\mathbb{Z}_{31}(\alpha)$ tiene dimensión dos más de $\mathbb{Z}_{31}$ como un espacio vectorial y contener $961 = 31^2$ elementos.
El cero de los elementos de este campo de extensión son las unidades y forma un grupo multiplicativo de orden uno menos (la omisión de cero), $960$.
Pero la multiplicación de la orden de $\alpha$$25$, acaba de reafirmar que se trata de una vigésima quinta de la raíz de la unidad, pero no una quinta parte de la raíz de la unidad. Pero si $\alpha$ está en el grupo multiplicativo de orden $960$, consecuencia de Lagrange del Thm. es que $25$ divide $960$.
Dado que no es verdad, $x^5 - 2$ no tiene cuadrático irreducible factores sobre los $\mathbb{Z}_{31}$. Mediante la eliminación de cualquier lineales y cuadráticas factores de $x^5 -2$ podemos concluir este quinto grado del polinomio es irreducible (si factorizada, un factor que necesariamente han de grado dos o menos).
Esto tiene que ver con la estructura de campos finitos y su teoría de Galois.
Primer vistazo a $2$ como un elemento de $\Bbb F_{31}^*\,$: Desde $2^5=1$ no, $2$ es una primitiva de la quinta raíz de la unidad, y entonces usted se está preguntando sobre el grado de la extensión conseguido por contigua a la vigésima quinta raíces de la unidad.
Por tanto, la pregunta se convierte en la cual la extensión de $\Bbb F_{31}$ finalmente tiene un número de elementos congruentes a $1$ modulo $25$. En otras palabras, usted está ahora pidiendo la orden de $31$$(\Bbb Z/25\Bbb Z)^*$, en otras palabras, el orden de $6$ en el grupo multiplicativo. Usted puede calcular el $6^5=7776$, pero me gustaría tener la esperanza de que había visto a la $1+p$ es topológico, generador de $1+p\Bbb Z_p$, las unidades principales en el $p$-ádico enteros. De cualquier manera, la quinta potencia de $6$ es el primero que se $\equiv1\pmod{25}$, así que ahí están.
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