Esta pregunta tiene una buena estructura que nos permite evaluar la controlabilidad mediante una inspección.
En primer lugar, observe que $\dot{x}_2 = 2x_2 + u$ lo que significa que al seleccionar cuidadosamente $u$ podemos establecer el valor de $x_2$ . De la misma manera, $\dot{x}_3 = -x_3 + u$ y $\dot{x}_4 = -2x_4 + 2u$ lo que significa que al seleccionar cuidadosamente $u$ podemos determinar $x_2$ , $x_3$ y $x_4$ "directamente" (porque $u$ aparece en su dinámica).
Por otro lado, $\dot{x}_1 = 2x_1 + x_2$ y es evidente que estas dinámicas no tienen $u$ en ellos. No obstante, como podemos empujar $x_2$ a cualquier valor que queramos, la dependencia de $x_1$ en $x_2$ significa que también podemos empujar $x_1$ a cualquier valor que queramos. Entonces podemos elegir cualquier valor para cada estado y el sistema es completamente controlable.
Para verificar esta lógica, intente calcular $\mathcal{M}_c$ con $A$ y $b$ como se ha dado. Esto dará $\text{rank}(\mathcal{M}_c) = 4$ . A continuación, intente establecer $A_{1,2} = 0$ y volver a calcular $\mathcal{M}_c$ para este caso. Como es de esperar, $\text{rank}(\mathcal{M}_c) = 3$ .
