problema de tasa de cambio ecuaciones diferenciales

Question

Así que aquí necesito ayuda. Aquí tenemos un cilindro mal dibujado que se llena de agua a razón de $ \frac{5m^3}{s} $ y el cilindro tienen dos agujeros que se regulan para liberar agua a un ritmo de $ \frac{1m^3}{s} $ cada uno sin importar el volumen de agua y toda el agua cae en el recipiente cónico de abajo como resultado se llenará.

La cuestión es encontrar la tasa de cambio de la altura del cono mientras se llena de agua en un tiempo determinado.

Supongamos que los destinatarios no se desbordan en otra palabra $h(t)$ donde $h$ es la altura del cono.

Así que procedo de la siguiente manera primero identificando la función objetivo, el volumen de un cono es $v= \frac{1}{3}\pi r^2h $ y sabemos que la relación entre el radio y la altura del cono es la siguiente

Como resultado, la ecuación cambia a $v= \frac{1}{3}\pi (\frac{h}{8})^2 h $ y simplificado se convierte en $v= \frac{h^3}{192}\pi $ por lo que la tasa de cambio es la derivada de esta función que es $ \frac{dv}{dt} = \frac{dh}{dt} \frac{h^2}{64}\pi $ por lo que resolvemos para $ \frac{dh}{dt} $ y obtener $ \frac{dh}{dt} = \frac{dv}{dt} \frac{64}{h^2\pi} $

Ahora sólo tenemos que encontrar la tasa de cambio del volumen y aquí es donde empieza el problema para mí, ya que la tasa de cambio del volumen es variable con el tiempo. una vez que alcance una altura de 1m la tasa de cambio aumentará a $ \frac{2m^3}{s} $ por lo que el volumen del cilindro es $v= \pi r^2h $ un h y un r diferentes, por supuesto. por lo que la tasa de cambio del volumen del cilindro $ \frac{5m^3}{s} - v_{out} $ $v_{out} $ es el volumen que sale del cilindro que es función de la altura que es $ v_{out} = \frac{1m^3}{s} $ es decir, la altura del cilindro es inferior a 1m pero $ v_{out} = \frac{2m^3}{s} $ si la altura es más de 1m así que este es el problema no sé cómo hacer $ v_{out} $ una sola expresión o cómo resolver el problema.

Answer 1

Sabiendo que el flujo del agua cambia a $ t= \frac {1}{5}\pi $ entonces la expresión para la tasa de cambio de la altura del cono será a partir de esta expresión $ \frac{dh}{dt} = (\frac{1m^3}{s}) \frac{64}{h^2\pi} $ para $ t \le \frac {1}{5}\pi $ y $ \frac{dh}{dt} = (\frac{2m^3}{s}) \frac{64}{h^2\pi} $ para $ t \gt \frac {1}{5}\pi $ pero esto es en función de la altura y no en función del tiempo y no creo que se pueda resolver en función del tiempo