Una ecuación algebraica; $ x^n -x =a $

Question

Dejemos que $n\ge 2$ sea un número entero y $a$ sea un número real tal que $|a|\le (n-1)n^{-\frac n{n-1}}$ . ¿Podemos encontrar las soluciones reales de la ecuación algebraica $$ x^n -x =a. $$

Answer 1

En primer lugar, si $n$ es impar, entonces $f(x) = x^n-x$ es ilimitado por encima y por debajo, por lo que $f(x)=a$ tiene una solución para cualquier $a$ .

Si $n$ está en paz, $f(x)$ no tiene límites por encima y es convexo, ya que $f''(x) = n(n-1)x^{n-2}\geq 0.$ Cualquier mínimo local de $f$ es por tanto su mínimo global.

Paso 1: Encontrar el mínimo global de $f$ resolviendo $f'(x) =0.$

Paso 2: ¿Cuál es el valor de $f$ ¿a este mínimo?

Paso 3: ¿Qué puede concluir sobre la gama de $f(x)?$

En ninguno de los dos casos se podrá, en general, resolver para $x$ analíticamente.

Answer 2

Por Teorema de inversión de Lagrange , siempre que $|a|\le(n-1)n^{n/(1-n)}$ una solución puede ser dada como

$$x_0=\sum_{k=0}^\infty\binom{nk}k\frac{(-a)^{(n-1)k+1}}{(n-1)k+1}$$

Se puede reescribir esto en términos de una función hipergeométrica generalizada dejando que

$$c_k=\binom{nk}k\frac1{(n-1)k+1}\left(\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}\right)^k$$

Y al ver que

$$\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{\left(k+\frac1n\right)\left(k+\frac2n\right)\dots\left(k+\frac nn\right)}{\left(k+\frac2{n-1}\right)\left(k+\frac3{n-1}\right)\dots\left(k+\frac n{n-1}\right)(k+1)}$$

Y dejando que

$$t=\left(\frac a{1-n}\right)^{n-1}n^n$$

obtenemos el función hipergeométrica generalizada :

$$x_0=-a\sum_{k=0}^\infty c_kt^k=-a~_nF_{n-1}\left(\frac1n,\frac2n,\dots,\frac nn;\frac2{n-1},\frac3{n-1},\dots,\frac n{n-1};t\right)$$