Ejercicio 1.8.13 en "Probabilidad y procesos aleatorios" de Grimmett y Stirzaker

Question

La pregunta pide demostrar el teorema de Waring que se muestra a continuación:

$P(N_k)=\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i$ ${k+1}\choose{k}$ $S_{k+i}$ donde $S_j= \sum_{i_1<i_2<...i_j} P(A_1 \cap A_2 ... \cap A_j )$

Dónde $P(N_k)$ es la probabilidad de que ocurra exactamente k de un posible N eventos.

A continuación, se me pide que utilice el teorema para calcular la probabilidad de que de la compra de seis paquetes de Corn flakes (cada uno de los cuales contiene uno de los 5 bustos posibles), acabe teniendo exactamente tres bustos distintos.

La respuesta es:

$P(N_3) =$$ {5}Elegir{3} $ $ \N-alfa_3 $ - $ {5}Elegir{4} $ $ {4}Elegir{3} $ $ \N-alfa_4 $+$ {5}Elegir{3} $ $ \N-alfa_5$

Dónde $\alpha_j$ es la probabilidad de que se obtengan los j últimos vicerrectores.

La solución me confunde en varios aspectos:

1.) ¿Por qué es $\alpha_j$ es la probabilidad de que los j vicerrectores más recientes, en lugar de cualquier 3 de 5 como esperaría al aplicar el teorema.

2.) ¿Por qué el segundo término se multiplica por 2 coeficientes binomiales (matemáticamente veo que para obtener 3 de 4 hay que saber cuántos conjuntos de 4 se tienen, pero esto no parece darse en la fórmula original?)

3.) ¿Cómo debo expresar la respuesta en términos de la nomenclatura del teorema original?

Partimos de la base de que tenemos 3 artículos, así que $i=3$ ?

El número de eventos individuales es k=3?

El número total de eventos posibles es $n=5$ ?

pero si esto fuera correcto la fórmula debería decir:

$P(N_3)=\sum_{i=3}^{2}(-1)^3$ ${k+1}\choose{k}$ $S_{k+i}$ donde $S_j= \sum_{i_1<i_2<...i_j} P(A_1 \cap A_2 ... \cap A_j )$

¿Esto está claramente mal?

Además, ¿por qué no aparece en la fórmula la cara de que se abran 6 paquetes? Seguramente al aumentar el número de paquetes la probabilidad de tener 3 bustos distintos debería aumentar.

Answer 1

Dejemos que $f_j$ sea la función indicadora de $A_j$ y $g_k$ el de $n_k$ . Escriba $[n]=\{1,\ldots,n\}$ . Entonces \begin{align} g_k&=\sum_{I:I\subseteq[n]\atop |I|=k} \prod_{j\in I}f_j \prod_{j\notin I}(1-f_j)\\ &=\sum_{I:I\subseteq[n]\atop |I|=k} \sum_{J:I\subseteq J\subseteq[n]}(-1)^{|J|-k}\prod_{j\in J}f_j\\ &=\sum_{J:|J|\subseteq [n]\atop |J|\ge k} (-1)^{|J|-k}\prod_{j\in J}f_j\sum_{I:\subseteq J\atop|I|=k}1\\ &=\sum_{J:|J|\subseteq [n]\atop |J|\ge k} (-1)^{|J|-k}\binom{|J|}k\prod_{j\in J}f_j\\ &=\sum_{m=k}^n(-1)^{m-k}\binom mk\sum_{J:|J|\subseteq [n]\atop |J|=m}\prod_{j\in J}f_j. \end{align} Ahora toma la expectativa de ambos lados.

Answer 2

(Me doy cuenta de que esta es una pregunta antigua, pero la publico por si otros vienen aquí como yo tratando de entender la solución). La conexión entre el teorema de Waring y la probabilidad declarada de $N_3$ ,

$$ \mathbb{P}(N_3) = {5 \choose 3}\alpha_3 - {5 \choose 4}{4 \choose 3}\alpha_4 + {5 \choose 3}\alpha_5\text{,} $$

es la siguiente. Sea $A_i$ sea el caso de que una copia del $i$ se obtiene el busto, $1 \leq i \leq 5$ y para $1 \leq j \leq 5$ , dejemos que

$$ \alpha_j = \mathbb{P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_j})\text{,} $$

dados seis paquetes comprados. La probabilidad $\alpha_3$ se calcula en el ejercicio 1.3.4, y los otros dos pueden calcularse de forma similar. Entonces,

$$ \begin{aligned} \mathbb{P}(N_3) &= \sum_{i=0}^{5-3}(-1)^{i}{3+i \choose 3}\sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_{3+i}}\mathbb{P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_{3+i}})\\ &= \sum_{i_1 < i_2 < i_3}\alpha_3 - {4 \choose 3}\sum_{i_1 < i_2 < i_3 < i_4}\alpha_4 - {5 \choose 3}\sum_{i_1 < i_2 < i_3 < i_4 < i_5}\alpha_5\\ &= {5 \choose 3}\alpha_3 - {4 \choose 3}{5 \choose 4}\alpha_4 - {5 \choose 3}{5 \choose 5}\alpha_5\\ &= {5 \choose 3}\alpha_3 - {5 \choose 4}{4 \choose 3}\alpha_4 - {5 \choose 3}\alpha_5\text{.}\\ \end{aligned} $$

(La aproximación a la que llego es 0,3469 con $\alpha_4 = 3359/15625$ y $\alpha_5 = 72/625$ .)