Estoy tratando de expresar $$_2F_1\left(\frac{1}{2} , 1;\,\frac{3}{2}+m;\,z\right), \quad m\in\mathbb{Z}\quad\text{and}\quad m\geq0$$ en términos de $\tanh^{-1}(\sqrt{z})$ y $\sqrt{z}$ , básicamente generalizando estos resultados.
¿Alguna idea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usando Maple, estoy obteniendo $$ {}_2F_1\left(\frac12,1;\frac32+m;z\right) = A_m(z)\operatorname{atanh}\sqrt{z}+B_m(z) $$ donde $$ A_m(z) = \frac{2(z-1)^m\Gamma(m+\frac32)}{z^{m+1/2}\sqrt{\pi}\;\Gamma(m+1)} $$ y $$ B_m(z) = \frac{\Gamma(m+\frac32)}{\Gamma(m+1)}\; \sum_{k=1}^m\frac{(z-1)^{m-k}\Gamma(k)}{z^{m+1-k}\Gamma(k+\frac12)} $$
Por ejemplo, $$ A_{10}(z) = {\frac {969969\, \left( z-1 \right) ^{10}}{262144\,{z}^{21/2}}}, \\ B_{10}(z) = \frac{1}{{3932160\,{z}^{10}}}\; \big(68025825\,{z}^{9}-382331775\,{z}^{8}+1168982220{z}^{7}-2255541300\,{z}^{6}+2918514950{z}^{5}-2585198330{z}^{4}+1554721740\,{z}^{3}-609140532{z}^{2}+140645505z-14549535\big) $$
