¿Existe una "imagen más amplia" desde la que podamos ver que $G$ es abeliano si $G/Z(G)$ ¿es cíclico?

Question

Es un ejercicio estándar para demostrar que si $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano. Sólo conozco una prueba de esto (la estándar, que se encuentra en todo este sitio), que es bastante inútil en el sentido de que no ofrece ninguna idea.

¿Existe una forma natural de ver que si $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano? ¿Quizás mirando el problema desde una perspectiva más amplia?

Tengo un nivel bastante avanzado de álgebra, pero poco a poco estoy construyendo mi intuición en cosas algebraicas, así que es importante para mí entender cosas de este tipo; esa es la motivación de la pregunta.

Answer 1

Lo intentaré

Si sólo hay un generador, $x$ , digamos, después de modificar por $Z(G)$ entonces como todas las potencias de $x$ viajar con $Z(G)$ y, por supuesto, se intercambian entre sí, surge la pregunta:

¿Por qué no es $x$ en $Z(G)$ ?

Por supuesto, debe serlo.

Más generalmente, si un subconjunto $S$ de un grupo $G$ es tal que los elementos de $S$ conmutan, entonces el subgrupo de $G$ generado por $S$ es abeliana.

En el contexto de la pregunta actual, basta con dejar que $S = Z(G) \cup \{x\}$ y observe que, por hipótesis, el subgrupo de $G$ generado por $S$ es todo $G$ .

Answer 2

En general, sólo se necesita un conjunto $S$ de elementos tal que para cada coset de $Z(G)$ hay exactamente una $s\in S$ en ese coset y tal que todos los elementos de $S$ conmutar.

Si se piensa en el gráfico de Cayley esto permite descomponer cada elemento de $G$ en dos caminos, el primero permite moverse entre cosets y el segundo dentro del coset.