Viene del hecho de que el momento y las posiciones son variables conjugadas. Se ilustra mejor en la transformada de Fourier, que relaciona el espacio de la posición y el del momento. $$ \psi(p) = \int dx e^{-ipx} \psi (x). $$ Cuando $p\sim \frac{1}{x}$ el exponente no se suprime. En los demás casos, el exponente oscilará y la contribución a la integral será mucho menor. Y este es el origen de la afirmación "una distancia pequeña equivale a un gran impulso".
Consideremos un ejemplo; la función de onda del electrón 1S en el hidrógeno es $$ \psi(r) \sim e^{-m \alpha r}. $$ El tamaño del hidrógeno es $r\sim \frac{1}{\alpha m}$ . Así que para sondear el hidrógeno debemos utilizar $p\sim 1/r \sim \alpha m$ . De hecho, con $$ \psi(p) \sim \frac{1}{(p^2+m^2\alpha^2)^2}. $$ probabilidad de encontrar el momento en la región $[p,p+\Delta p]$ es proporcional a $$ p^2 \psi(p)^2 \Delta p $$ que tiene un pico para $p\sim m\alpha$ .
Observe que en su pregunta habla de alta transferencia de momento, no de alta incertidumbre de momento. Considere un ejemplo de dispersión de un electrón con momento $p$ en un protón. Para simplificar, consideraré que el electrón, el fotón y el protón son partículas de espín 0. La amplitud es $$ \mathcal{M} = (ie)^2\frac{i}{q^2}F(q^2) $$ con la transferencia de momento $q=p'-p$ . $F(q^2)$ es la función de distribución de la carga del protón, $F(0)=1$ . Cuando se mide la sección transversal diferencial $\frac{d\sigma}{dq^2}$ se sondea el factor de forma a un determinado valor de la transferencia de momento. Obsérvese que $q$ se define por la cinemática externa, $q^2=(p'-p)^2=2m_e^2-2p\cdot p'$ . Mediante la transformación de Fourier $F(q^2)$ se obtiene la distribución de la carga en el espacio de posición: la densidad de carga. En la práctica, sólo se conoce $F(q^2)$ en un determinado rango de $q^2$ . Entonces, $1/q^2$ es la estructura más pequeña que se puede resolver en el espacio de posición. La transformada de Fourier de $F$ está directamente relacionada con la función de onda en el espacio de posición.
Por otro lado, este ejemplo es ilustrativo, porque el propagador fuera de la cáscara $\frac{i}{q^2}$ le da una gama efectiva de interacciones. Cuando una partícula está fuera de la cáscara, entonces puede propagarse sólo en una distancia corta $\Delta x\sim \frac{1}{\Delta Q}$ . Esto viene de nuevo de las propiedades de la transformada de Furier.
Sólo está parcialmente relacionado con el principio de incertidumbre. Un momento elevado puede seguir teniendo una gran incertidumbre, pero también se quiere $$\Delta p \ll p$$ porque sólo así la medición es precisa. En otras palabras; $$ \Delta x \Delta p \ge \hbar/2 $$ se mantiene siempre, pero cuando $$ \Delta x \Delta p \sim \hbar/2, $$ entonces la medición es más precisa para las $p$ y $x$ . Así que minimiza también $\frac{\Delta p}{p}$ en un determinado $\Delta x$ y $x$ .
