Puntos extremos de una función bastante sencilla mediante derivadas

Question

He tratado de encontrar los puntos extremos de esta función con parámetros $s,l \in \mathbb{R}$ :

$(1):$ $$(\frac{1}{2})^{\dfrac{s}{x}}-(\frac{1}{2})^{\dfrac{l}{x}}$$

Intenté hacerlo tomando la derivada de esta función, que es:

$(2):$ $$\frac{\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(l\left(\frac{1}{2}\right)^{\dfrac{l}{x}}-s\left(\frac{1}{2}\right)^{\dfrac{s}{x}}\right)\right)}{x^{2}}$$

A partir de aquí, traté de establecer $(2)$ sea igual a $0$ para encontrar algunos puntos extremos de $(1)$ .

Ecuación $(2)$ es igual a $0$ si:

$(3):$ $$l\left(\frac{1}{2}\right)^{\dfrac{l}{x}} = s\left(\frac{1}{2}\right)^{\dfrac{s}{x}}$$

Pero tomar el ln de ambos lados de la ecuación no me permite encontrar un único valor para x, pues esto me da:

$(4)$ : $$\frac{l\cdot(\dfrac{l}{2})-s\cdot(\dfrac{s}{2})}{x} = 0$$

Esto parece resolver el caso: parece que no hay $x \in \mathbb{R}$ que puede satisfacer $(4)$ .

Pero este gráfico de Desmos muestra que no es así. https://www.desmos.com/calculator/yn2u9ahhyf

Hay un $0$ en $x = 2.31$ para esta elección particular de $s, l$ . Y existe un $x$ para la mayoría de las opciones de $s, l$ .

¿Qué hay de malo en mi prueba de que no hay $x \in \mathbb{R}$ que puede satisfacer $(4)$ ?

¡Muchas gracias! :)

Answer 1

Me encanta preguntar aquí, normalmente sólo después de explicar todo con detalle aquí se ve el error. Sin embargo, no voy a borrar este post, porque puede ser útil para alguien, supongo.

Para conseguir $(4)$ asumí erróneamente lo siguiente:

$ln(ab^{c}) = cln(ab)$ .

Pero esto es equivocada , sutilmente equivocado .

La forma correcta de proceder de $(3)$ es:

Dividiendo ambos lados por $l\cdot (\frac{1}{2})^\frac{s}{x}$ nos encontramos con que:

$(5)$ : $$(\frac{1}{2})^\dfrac{l-s}{x} = \frac{s}{l}$$

Tomando el logaritmo natural de ambos lados, obtenemos:

$(6)$ : $$ \frac{l-s}{x} \cdot \ln(\frac{1}{2})= \ln(\frac{s}{l}) $$

Multiplicando ambos lados por $\frac{x}{\ln({\dfrac{s}{l}})}$ obtenemos:

$(7)$ : $$ x=\frac{(l-s) \cdot \ln(\dfrac{1}{2})}{\ln(\dfrac{s}{l})} $$