¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial ordinaria?

Question

Consideremos la siguiente EDO para $x(t)$ :

$x''+ax'+16x=sin(4t)$

donde $a$ es una constante. Encuentra la solución general para $x(t)$ para $a$ =0 y luego para $a$ =1.

Esto es lo que tengo hasta ahora: Así que cuando $a$ =0, la ecuación se convierte en $x''+16x=sin(4t)$

Lo que significa que la solución complementaria es $$x_{c}(t)=Acos(4t)+Bsin(4t)$$

Sé que tengo que buscar una solución particular $$x_{p}(t)=Ctcos(4t)+Dtsin(4t)$$ Sin embargo, no sé qué hacer más allá de este punto.

La solución general para $a=0$ es $$x_{c}+x_{p}=Acos(4t)+Bsin(4t)-\frac{1}{8}tcos(4t)$$

Y la solución general para $a=1$ es $$x_{c}+x_{p}=e^\frac{-t}{2}[Acos(\frac{\sqrt(63t)}{2})+Bsin(\frac{\sqrt(63t)}{2})]-\frac{1}{4}cos(4t)$$

No sé cómo llegar a esas soluciones. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

En el primer caso, la solución particular tiene la forma $x_{p}(t)=t(C\cos(4t)+D\sin(4t))$ porque $\pm 4i$ es la solución de grado $1$ de la ecuación característica $\lambda^2 + 16=0$ ( $x_{p}(t)=t^s(C\cos(4t)+D\sin(4t))$ y $s=1$ ). El siguiente paso es sustituir $x_{p}(t)$ en la ecuación y encontrar $C$ y $D$ .

Por lo tanto, estamos viendo la ecuación $$(t C \cos 4t + t D \sin 4t)''+16( t C \cos 4x + t D \sin 4t)= \sin 4t.$$ Si ampliamos esto, obtenemos $8D \cos 4t - 8C \sin 4t = \sin 4t$ . Nota: sólo queremos un solución particular, por lo que necesitamos una sola solución para esta ecuación. La forma más fácil es igualar las partes con $\cos $ y $\sin$ y tenemos $8D \cos 4t = 0$ y $-8C \sin4t = \sin 4t$ o $D=0$ y $-8C=1 \implies C=-\frac{1}{8}$ . Así que $$x_p(t)= t \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\cos 4t + t \cdot 0 \cdot \sin 4t = -\frac{1}{8} t\cos 4t$$

En el segundo caso la solución particular tiene la forma $x_{p}(t)=C\cos(4t)+D\sin(4t)$ porque $\pm 4i$ (estamos eligiendo este número de la parte $=\sin 4t$ ) no es la solución de la ecuación $\lambda^2 + \lambda + 16=0$ Así que $s=0$ . Ahora, al igual que en el primer caso, encontramos $C$ y $D$ . Y en este caso la solución complementaria es $$x_{c}=e^\frac{-t}{2}\left(A\cos\left(\frac{3\sqrt{7}t}{2}\right)+B\sin\left(\frac{3\sqrt{7}t}{2}\right)\right)$$ porque $\lambda_{1/2}=-\frac{1}{2}(-1\pm 3\sqrt{7}i)$ son raíces de la ecuación $\lambda^2+\lambda + 16=0$ .