En su artículo sobre " Números Stirling del segundo tipo ", Wikipedia da esta fórmula para $S(n, k)$ -- el número de formas de poner $n$ distintas bolas en $k$ cajas (donde las cajas no son distintas).
$S(n, k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^n$
¿Alguien tiene una forma intuitiva o sólo semi-intuitiva de explicar esto? O hay alguna cosa más general que debería mirar para que tenga sentido -- Wikipedia dice que es un caso especial de algo o de otro.
Parece que nos falta "...donde ninguna de las cajas esté vacía".
Supongamos que las cajas están etiquetadas (dividimos por $k!$ al final para las cajas no etiquetadas).
Podemos poner las bolas en las cajas en $k^n$ formas: pero esto sobrecontabiliza ya que permite la posibilidad de que algunas de las casillas estén vacías. Así que tenemos que restar el número de bolas en cajas en las que hay cajas vacías.
El número de bolas en caja con $\geq j$ cajas vacías es $$\binom{k}{j} j^n$$ y nosotros incluir-excluir en $j$ , dando así $$\sum_{j \geq 0} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^n.$$
La relación entre los arreglos de bolas en caja y los números Stirling del segundo tipo es inmediata por definición.
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