Estoy reorganizando mi respuesta:
He aquí un enfoque para formar una secuencia infinita de distintas afirmaciones "verdaderas-pero-no-probables" a partir de la afirmación original de Gödel. Recordemos que Gödel creó un enunciado sobre su sistema axiomático que, desde un nivel superior, significa "Este enunciado es indemostrable". Trabajaré en este nivel intuitivo. Mi respuesta es necesariamente incompleta ya que no estoy proporcionando la estructura formal que se necesita para mapear estos significados de nivel superior a enunciados axiomáticos:
1) La afirmación de Gödel ("Esta afirmación es indemostrable")
2) "Esta afirmación no está implícita en 1, y 1 es verdadera".
3) "Esta declaración no está implícita en ninguna declaración del conjunto $\{1,2\}$ y 2 es cierto".
4) "Esta declaración no está implícita en ninguna declaración del conjunto $\{1,2,3\}$ y 3 es cierto".
etc.
Afirmación: Todas las afirmaciones de esta secuencia son verdaderas-pero-no-probables, y ninguna afirmación está implicada por ninguna de las anteriores (por lo que todas las afirmaciones son distinto ).
Prueba: Supongamos que cada enunciado del conjunto $\{1, ..., n\}$ es verdadera-pero-no-probable y no está implícita en ninguna de sus afirmaciones precedentes (esto es válido para $n=1$ ). Queremos demostrar que esto también es válido para la declaración $n+1$ .
Supongamos que $n+1$ es falsa (llegamos a una contradicción). Esta afirmación es:
(Declaración $n+1$ ) "Esta afirmación no está implícita en ninguna afirmación del conjunto $\{1, ..., n\}$ y declaración $n$ es verdad".
Dado que la declaración $n+1$ es falso, o bien tenemos que es implícita en una de las anteriores, o declaración $n$ es falso. Como ya sabemos que la afirmación $n$ es verdadera, debe ser esa afirmación $n+1$ está implícita en una declaración $i \in \{1, ..., n\}$ . Pero ya conocemos la declaración $i$ es cierto. Dado que la afirmación $i$ implica una declaración $n+1$ debe ser que $n+1$ es verdadera, una contradicción (por lo que $n+1$ debe ser verdadera).
Ahora que hemos demostrado $n+1$ es verdadera, es fácil ver que también es verdadera-pero-no-probable (ya que si fuera demostrable, probaría la afirmación $n$ que no es demostrable). Por último, dado que $n+1$ es cierta, no está implícita en ninguna de las anteriores. $\Box$
Una vez que tenga una secuencia infinita de enunciados distintos verdaderos pero no demostrables, puede enumerarlos e insertar todos los enunciados verdaderos restantes en su lista de forma dispersa. De esta manera, usted puede producir un ordenamiento tal que: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\mbox{Number of true-but-unprovable statements within the first $ n $ statements}}{n} = 1 $$ (Por supuesto, esta no es la misma forma de definir la proporción que la que sugiere el autor de esta pregunta). Así pues, en este orden, casi todas las afirmaciones verdaderas serían verdaderas-pero-improbables.
La siguiente referencia puede ser pertinente. Sólo leí el resumen, pero el resumen efectivamente sugiere que "casi todas las afirmaciones verdaderas son indemostrables".
Calude y Jürgensen, "¿Es la complejidad una fuente de incompletitud?", 2005:
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0196885804001277
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Esto es similar a la descripción de la [constante de Chaitin][1], la probabilidad de que cualquier programa informático aleatorio se detenga. Ciertamente sería posible definir alguna constante que sea la probabilidad de que una prueba dada sea válida, pero este valor sería igualmente incalculable [1]: es.wikipedia.org/wiki/Chaitin%27s_constant
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Parece una pregunta increíble. No tengo ni idea de cómo responderla (excepto, por supuesto, que para algunos sistemas, $f=1$ constantemente), sólo quería comentar su interés.
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Suena como un trabajo para... ¡Ley 0-1 de Kolmogorov!
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@AsafKaragila : Necesitaríamos alguna noción de independencia para eso....