¿Por qué es $a^n - b^n$ divisible por $a-b$ ?

Question

Hice algunos problemas de inducción matemática sobre la divisibilidad

• $9^n$ $-$ $2^n$ es divisible por 7.
• $4^n$ $-$ $1$ es divisible por 3.
• $9^n$ $-$ $4^n$ es divisible por 5.

¿Se pueden generalizar como $a^n$ $-$ $b^n$$ = (a-b)N $, where N is an integer? But why is $ a^n $ $ - $ $ b^n $$ = (a-b)N$ ?

También veo que $6^n$ $- 5n + 4$ es divisible por $5$ que es $6-5+4$ y $7^n$$ +3n + 8 $ is divisible by $ 9 $ which is $ 7+3+8=18=9\cdot2$.

¿Son sólo una coincidencia o hay una teoría detrás?

¿Se trata de aritmética modular?

Answer 1

Para ofrecer una perspectiva diferente, he aquí un argumento combinatorio: Dejemos que $\mathcal{A}$ sea el conjunto de palabras de longitud $n$ en algún alfabeto $A$ de tamaño $a$ y $\mathcal{B}$ sea el conjunto de palabras de longitud $n$ en un alfabeto $B\subsetneq A$ de tamaño $b\lt a$ . Entonces $|\mathcal{A}|=a^n$ , $|\mathcal{B}|=b^n$ y como $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$ si establecemos $S=\mathcal{A}-\mathcal{B}$ entonces $|S|=a^n-b^n$ .

Pero ahora considere algunos $s\in S$ cualquier palabra de este tipo tendrá una "primera posición" en la que tiene una letra en $A-B$ y podemos dividir $S$ en $|A|-|B|=a-b$ subconjuntos basados en el valor de esta primera letra no en $B$ . Existe un isomorfismo obvio entre estos conjuntos (basta con sustituir esa primera letra por cualquier otra que no esté en $B$ ), y por lo tanto todos son del mismo tamaño; ya que hay $a-b$ de ellos en total y equiparan un conjunto de tamaño $a^n-b^n$ entonces debe ser el caso que $(a-b)\mid (a^n-b^n)$ .

Answer 2

Otra prueba:

Denote $r=b/a$ . Sabemos que la suma de una progresión geométrica del tipo $1+r+r^2+\ldots+r^{n-1}$ es igual a $\frac{1-r^n}{1-r}$ . Así, tenemos \begin{align} 1-r^n&=(1-r)(1+r+r^2+\ldots+r^{n-1}),\quad\text{substituting $r=b/a$ gives:}\\ a^n-b^n &= (a-b)\color{red}{(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+b^{n-1})}\\ a^n-b^n &= (a-b)N \end{align} El último paso es el siguiente, ya que $a,b$ son números enteros y una expresión polinómica del tipo en $\color{red}{red}$ La fuente también es un número entero.

Answer 3

Dejemos que $d=a-b$ . Por el teorema del binomio, $a^n = (d+b)^n = dt+b^n$ . Así que $a^n-b^n=dt=(a-b)t$ .