¿Por qué es $a^n - b^n$ divisible por $a-b$ ?

Question

Hice algunos problemas de inducción matemática sobre la divisibilidad

• $9^n$ $-$ $2^n$ es divisible por 7.
• $4^n$ $-$ $1$ es divisible por 3.
• $9^n$ $-$ $4^n$ es divisible por 5.

¿Se pueden generalizar como $a^n$ $-$ $b^n$$ = (a-b)N $, where N is an integer? But why is $ a^n $ $ - $ $ b^n $$ = (a-b)N$ ?

También veo que $6^n$ $- 5n + 4$ es divisible por $5$ que es $6-5+4$ y $7^n$$ +3n + 8 $ is divisible by $ 9 $ which is $ 7+3+8=18=9\cdot2$.

¿Son sólo una coincidencia o hay una teoría detrás?

¿Se trata de aritmética modular?

Answer 1

Todos ellos son casos especiales del Teorema del factor polinómico: $\rm\: x-y\:$ divide $\rm\:f(x)-f(y),\:$ aquí para $\rm\,f\,$ un polinomio con coeficientes enteros, por lo que $\rm\:f(x)-f(y) = (x-y)\:g(x,y)\:$ para un polinomio $\rm\:g\:$ con coeficientes enteros. La ecuación anterior (por tanto la divisibilidad) sigue siendo cierta cuando evaluamos las indeterminaciones $\rm\:x,y\:$ en valores enteros. Así se obtienen sus ejemplos eligiendo $\rm\:f(z) = z^n.$

Dijo que era más sencillo: $\rm\: mod\,\ x\!-\!y\!:\ \ x\equiv y\,\Rightarrow f(x)\equiv f(y)\ $ por el Regla de congruencia polinómica.

por ejemplo: $\ \rm\ mod\,\ 9\!-\!4\!:\ \ 9\equiv 4\:\Rightarrow\ 9^n\equiv\, 4^n\ $ (alternativamente por el Regla de poder de congruencia ).

Nótese que todas las pruebas vinculadas proceden por inducción en $\rm\,n\,$ (= grado del polinomio).

Answer 2

Se puede generalizar como:

$$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1})$$

Si te interesa el punto de vista de la aritmética modular, ya que $a \equiv b \pmod{a-b},$ $a^n \equiv b^n \pmod{a-b}.$

Tus dos últimos ejemplos son ciertos porque lo que estás haciendo esencialmente es enchufar $n=1.$

Answer 3

Consideremos el polinomio $f(x)=x^n-b^n.$ Entonces $f(b)=b^n-b^n=0.$ Así que $b$ es una raíz de $f$ y esto implica $(x-b)$ divide $f(x)$ . Poner $x=a$ entonces $a-b$ divide $f(a)=a^n-b^n.$

Answer 4

Es una identidad estándar:

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\;.$$

Se verifica de forma más clara utilizando la notación de la suma, pero también se puede ver lo que sucede cuando se escribe todo en forma extendida, como hice anteriormente. Primero,

$$\begin{align*} a(a^{n-1}&+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\\ &=a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\ldots+a^3b^{n-3}+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}\;.\tag{1} \end{align*}$$

Siguiente,

$$\begin{align*} b(a^{n-1}&+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\\ &=a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+a^{n-3}b^3+\ldots+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+b^n\;.\tag{2} \end{align*}$$

Ahora resta $(2)$ de $(1)$ :

$$\begin{align*} a^n&+\color{red}{a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\ldots+a^3b^{n-3}+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}}\\ &\color{red}{-a^{n-1}b-a^{n-2}b^2-\ldots-a^3b^{n-3}-a^2b^{n-2}-ab^{n-1}}-b^n\;; \end{align*}$$

los términos rojos se anulan dejando $a^n-b^n$ .

Answer 5

Ya que originalmente observaste tu patrón mientras hacías pruebas por inducción, aquí tienes una prueba por inducción sobre $n$ que $a-b$ divide $a^n - b^n$ para todos $n \in \mathbb{N}$ :

La afirmación es claramente cierta para $n = 1$ . Supongamos que la afirmación es cierta para $n = m$ para $m \geq 1$ . Así, $a^m - b^m = (a-b)k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Entonces para $n = m + 1$ , \begin{equation} a^{m+1} - b^{m+1} = a^{m+1} - b^mb = a^{m+1} + [(a-b)k - a^m]b = a^{m+1} - a^mb + (a-b)k = a^m(a - b) + (a-b)k = (a-b)(a^m + k). \end{equation} Y voilá, $a-b| a^{m+1} + b^{m+1}$ por lo que se hace por inducción.