Compactificaciones homeomórficas pero no equivalentes.

Question

Me topé con la definición de compactaciones equivalentes que es:

Dos compactaciones $Z_1$ y $Z_2$ del espacio $X$ se dice que son equivalentes si existe un homeomorfismo $h:Z_1\rightarrow Z_2$ tal que $h(x)=x$ por cada $x$ en $X$ .

Me parece interesante que esta definición incluya la " $h(x)=x$ por cada $x$ en $X$ " ya que me parece muy raro poder compactar un espacio $X$ de dos maneras diferentes, que sean homeomorfos, pero que no haya ningún homeomorfismo que fije cada punto de $X$ . Sin embargo, conozco muy pocos ejemplos de compactificaciones, lo que podría explicar por qué no puedo producir un contraejemplo de esto.

Mi pregunta es : ¿Puede darme un ejemplo de un espacio $X$ y dos compactaciones de $X$ de manera que sean homeomórficos pero no equivalentes?

P.D. El libro que estoy leyendo (Munkres) incluye a Hausdorff en su definición de compactación, que no sé si es habitual o importante aquí. Dice así: Si $Y$ es un espacio Hausdorff compacto y $X$ es un subespacio propio de $Y$ cuyo cierre es igual a $Y$ entonces $Y$ se dice que es una compactación de $X$ .

Answer 1

Como las compactaciones también dependen de cómo la incrustación está hecha, podemos engañar un poco (o mucho). Consideremos el espacio $X = (0,1) \times \{ 0, 1 \}$ ; es decir, dos copias disjuntas del intervalo unitario abierto.

Dos compactificaciones no equivalentes pero homeomórficas de $X$ son $$\begin{align} Z_1 &= ( S^1 \times \{ 0 \} ) \cup ( [0,1] \times \{ 1 \} ), \\ Z_2 &= ( [0,1] \times \{ 0 \} ) \cup ( S^1 \times \{ 1 \} ). \end{align}$$ donde $S^1$ es la compactación de un punto de $(0,1)$ , también conocido como el círculo unitario.

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Para un ejemplo usando la forma más fuerte de equivlanece de la respuesta de David C. Ullrich, tome el espacio original para ser $$X = ( (0,1) \times \{ 0 \} ) \cup ( ( ( 0,1) \cap \mathbb Q ) \times \{ 1 \} )$$ (sólo utiliza los racionales en la segunda copia), pero las mismas compactaciones $Z_1,Z_2$ como en el caso anterior.

Answer 2

Me parece que la definición debería exigir precisamente eso $h|_X$ sea un homeomorfismo de $X$ en lugar de exigir que sea la identidad en $X$ . Existen ejemplos con esa definición revisada, pero no se me ocurre ninguno.

Con la definición dada es fácil dar un ejemplo. Para los números complejos $a$ y $b$ dejar $(a,b)$ denota el segmento de línea abierta con puntos extremos $a$ y $b$ . Del mismo modo, para $[a,b]$ . Sea $X=(-1,1)\cup (-i,i)$ con la topología estándar.

Dejemos que $Y=[-1,1]\cup[-i,i]$ el cierre de $X$ en el plano. Sea $C_1$ sea $Y$ pero con los dos puntos $1,i$ identificado a un solo punto, y los dos puntos $-1,-i$ identificados a un solo punto. Así que $C_1$ es homeomorfo a una figura de ocho. Sea $C_2$ sea $Y$ excepto con $1$ y $-i$ identificados hasta un punto y $-1$ y $i$ identificados hasta cierto punto.

Answer 3

La definición habitual de compactación es en realidad un poco más general que eso: más formalmente una compactación de un espacio $X$ es un par $(i,Y)$ , donde $Y$ es Hausdorff compacto y $i:X \rightarrow Y$ es una incrustación (por lo que $i: X \rightarrow i[X] \subseteq Y$ es un homeomorfismo) tal que $i[X]$ es denso en $Y$ .

Dos compactaciones $(i,Y)$ y $(j,Z)$ se definen como compactificaciones equivalentes de $X$ si existe un homeomorfismo $h: Y \rightarrow Z$ tal que $h \circ i = j$ en $X$ por lo que un homeomorfismo que preserva la forma en que $X$ se incrusta en $Y$ esencialmente.

Algunos textos exigen que $X \subseteq Y$ y $X$ ser denso, por lo que identifican $X$ con su forma incrustada $i[X]$ y entonces el homeomorfismo debe ser la identidad (en lugar de pasar por las dos incrustaciones) en $X$ . Pero en la práctica una compactación se construye a menudo a través de incrustaciones (como la de Cech-Stone) o de forma que haya una incrustación natural (identificando ultrafiltros fijos con los puntos originales, por ejemplo).

En efecto, es posible tener dos compactaciones en las que los espacios compactos son homeomorfos pero las incrustaciones no se conservan, y el ejemplo de Ullrich en el plano es un buen ejemplo (donde las incrustaciones son ambas la identidad).