Clases de homotopía de cadena como n-homología de un complejo doble

Question

Hola a todos,

Intento entender un argumento de Lücks "Una introducción básica a la teoría de la cirugía" en la página 51 que dice lo siguiente:

Dejemos que $\mathbb{Z} \pi$ sea el anillo de grupo donde $\pi$ denota el grupo fundamental de un CW-Komplex finito conectado. Además, consideramos el zellular $\mathbb{Z}\pi$ -complejo de cadenas $C_*(\widetilde X) $ de la cobertura universal de $X$ . Ahora se afirma que tomando la homología n-ésima del complejo doble $hom(C^{-*}(\widetilde X),C_*(\widetilde X))$ es el conjunto de $\mathbb{Z}\pi$ -clases de homotopía de cadena de $\mathbb{Z}\pi$ -Mapas de cadena de $C^{n-*}(\widetilde X)$ a $C_*(\widetilde X) $ . Aquí $C^{n-*}(\widetilde X)$ denota el complejo de cadena dual dado por $C^{n-*}(\widetilde X)_p:=hom(C_{n-p},\mathbb{Z}\pi) $ con el mapa de límites $ \circ \partial^C $ .

Si considero el mapa de frontera n-ésimo del complejo doble $hom(C^{-*}(\widetilde X),C_*(\widetilde X))$ He considerado como definición del mapa límite n-ésimo $\partial^n f_p :=f_p \circ\partial^{C^{-*}}+(-1)^{n-1}\partial^{C_*} \circ f_{p+1}$ ? Esto parece ser casi la definición de una homotopía de cadena pero el prefactor $(-1)^{n-1} $ causa problemas.

Agradecería cualquier referencia bibliográfica.

Answer 1

Parte del problema es que probablemente sólo estás acostumbrado a ver homotopías de cadena de mapas de cadena de grado cero. En este caso $n=1$ (porque la propia homotopía eleva el grado en 1 y por tanto es un elemento de $Hom^1$ ) y la fórmula se reduce a la fórmula estándar para una homotopía en cadena que se encuentra, por ejemplo, en Hatcher o Munkres o en cualquier otra introducción a la topología algebraica. En esta configuración más general, los elementos de $Hom^n(C^\ast, D^\ast)$ (Estoy generalizando el escenario al álgebra pura - aunque nótese que algebraicamente $C^\ast=C_{-\ast}$ por convención) elevan el grado en $n$ y ciertos signos aparecen cuando se trabaja con homomorfismos de complejos de cadenas que cambian de grado así.

Probablemente la mejor explicación de por qué quieres los signos en el caso general es la explicación que encontré primero aquí en la sección 12 del documento de Lawson sobre los signos (aunque sin duda mucha gente lo sabe desde hace tiempo). La cuestión es que, dadas las convenciones de signos para los productos tensoriales (que también son razonables desde la teoría de las categorías simétricas monoidales), ésta es la única elección de convención de signos que hará que el mapa de evaluación $Hom(C^\ast, D^\ast)\otimes C^\ast\to D^\ast$ un mapa de la cadena, que es una demanda bastante razonable. Intenta mostrarte a ti mismo que esta evaluación es un mapa en cadena y verás donde entra el signo misterioso.

Answer 2

Me costó bastante averiguar las definiciones correctas, pero ahora sólo queda un "signo mysterios". Para ser más preciso: Dados dos $R$ -Complejos de cadena $C_{*}$ , $D_{*}$ consideramos el complejo $hom_R(C_{*},D_{*})$ cuyo módulo p-ésimo viene dado por $hom_R(C_{*},D_{*})=\bigoplus_k hom_R(C_{k-p},D_k)$ y mapa de límites $d^{p}(f):=d_Df-(-1)^pfd_C$ . Si ahora considera el complejo desplazado $\Sigma^{n} C_{*}$ con $(\Sigma^{n} C_{*})_{k}:=C_{k-n}$ tiene que definir su mapa de límites por $d_{\Sigma C}:=(-1)^{n} d_{C} $ Utilizando estas definiciones es fácil demostrar que $H_{n}(hom_{R}(C_{*},D_{*}))=[\Sigma^{n} C_{*},D_{*}] $ , donde $[.,.]$ denota las clases de homotopía de la cadena como en el caso anterior. Así que tal vez la pregunta que queda es, ¿por qué se necesita el $(-1)^n$ en el mapa de límites del complejo desplazado.