Ley asintótica de Weyl para el valor propio en el rectángulo $D = \{0 < x < a, 0 < y < b \}$ - $N(\lambda) \geq \frac{\lambda ab}{4 \pi} - C \sqrt{\lambda}$

Question

Tengo algunas dificultades para entender el ejemplo sobre el rectángulo en el libro Strauss W.A. Partial differential equations - an introduction (Wiley, $2008$ , $2$ nd Ed.) página $326$ . He conseguido demostrar que $N(\lambda) \leq \frac{\lambda ab}{4 \pi}$ pero no $N(\lambda) \geq \frac{\lambda ab}{4 \pi} - C \sqrt{\lambda}$ para alguna constante $C$ . ¿Hay alguien que pueda darme una buena pista para resolver este problema?

Answer 1

Los valores propios $$ \lambda_{ab} = \pi^2\bigg(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\bigg) $$ para $a,b \in \Bbb{N}$ son las longitudes al cuadrado de los vectores en la red $(\pi/a)\mathbb{N}\times(\pi/b)\mathbb{N}$ , donde dejo que $\Bbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$ sean los enteros positivos. Así que la función de recuento $N(\lambda)$ cuenta los puntos de la red (en el cuadrante superior) cuya longitud es inferior a $\sqrt{\lambda}$ .

El primer truco aquí es notar que los puntos de la red están asociados únicamente con rectángulos de dimensión $(1/a)\times(1/b)$ . Cada cámara rectangular de la red tiene una esquina más alejada del origen. Identificar el punto de la celosía con el rectángulo de esta manera es una biyección. Se piensa en ellos como baldosas. Ahora observa que cada baldosa rectangular tiene un volumen $\pi^2/(ab)$ . Una baldosa está contenida en el (cuarto)-círculo de radio $\sqrt{\lambda}$ si y sólo si su punto de red se cuenta en $N(\lambda)$ por lo que el área total de las baldosas es menor que el área del cuarto de círculo. Después de multiplicar por $ab/\pi^2$ : $$N(\lambda) \leq \frac{1}{4\pi}(ab)\lambda$$ Esta debería ser más o menos la forma en que derivó su límite superior.

El segundo truco es observar: si reducimos el radio del cuarto de círculo por el diámetro de una baldosa rectangular, está contenido dentro de la unión de las baldosas. Por lo tanto, tenemos un límite inferior, y después de multiplicar por $ab/\pi^2$ obtenemos el límite inferior $$ \frac{1}{4\pi}ab\bigg(\sqrt{\lambda} - \operatorname{diameter of tile}\bigg)^2 \leq N(\lambda) $$

Este argumento se debe, creo, a Gauss, también en Rayleigh-Jeans 1905, Weyl 1910, y véase también Courant-Hilbert Métodos de física matemática . Como ejercicio, ¿puedes calcular la ley de Weyl para los valores propios de Neumann? Para $n$ -¿paralelepípedos dimensionales?