El sistema no es completamente alcanzable, ¿Es el estado x1 alcanzable desde x0?

Question

El sistema es $$ x(k+1)=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} x(k)+\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} u(k) \\ y(k) =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} x(k) \\C=\begin{bmatrix}B & AB &A^2B \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1&2\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix} $$

El rango de C es 2 que no es igual al rango completo. Esto significa que el sistema no es alcanzable. Sin embargo, el sistema puede no ser completamente alcanzable si el estado al que debe ir el sistema depende linealmente de la base de C

Sea el estado x1= \begin{bmatrix}3\\2\\2\end{bmatrix} que se puede alcanzar desde el estado cero.

Mis preguntas son

1) ¿Cómo determinar el número mínimo de pasos para alcanzar x1?

2) ¿Qué datos necesito? y ¿cómo verifico mis respuestas?

Answer 1

Como el rango es 2, necesitaremos un mínimo de 2 pasos.

Consideremos que son los dos primeros \$u_0\$ y \$u_1\$ . Esto da $$x_1=B u_0$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=B u_1+A B u_0$$ Sustitución de valores $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_0 \\ \end{array} \right)$$

La solución es \$u_0=3, u_1=-1\$ . Lo he conseguido por observación, pero en general se puede resolver lo anterior utilizando la pseudoinversa.

(Para sistemas de orden inferior, también se pueden visualizar estos subespacios controlables. Anteriormente había creado algunos para lineal y no lineal sistemas de tiempo continuo. Otra interesante un .)