Debe un ideal contienen el kernel para que su imagen sea un ideal?

Question

Estoy tratando de aprender algunos conceptos básicos de álgebra abstracta de Pinter es Un Libro de Álgebra Abstracta y me encuentro desconcertado por la siguiente pregunta sencilla sobre el anillo de homomorphisms:

Deje $A$ $B$ anillos. Si $f : A \to B$ es un homomorphism de $A$ a $B$ con kernel $K$, e $J$ es un ideal de a $A$ tal que $K \subseteq J$, $f(J)$ es un ideal de a $B$.

Estoy claramente falta obvio, pero no veo donde está el requisito de $K \subseteq J$ entra en la prueba. Desde $f$ es también un homomorphism aditiva de los grupos, la imagen de $f(J)$ debe ser cerrado bajo la suma y negativos (correcto?). A continuación, para $f(J)$ a ser un ideal que nos tiene que demostrar que es cerrado bajo la multiplicación por un arbitrario $b \in B$. Desde $f$ a, hay algunos $a \in A$ tal que $b = f(a)$. Deje $j'$ cualquier elemento de $f(J)$, lo $j' = f(j)$ algunos $j \in J$. A continuación,$bj' = f(a)f(j) = f(aj)$, e $aj \in J$ desde $J$ es un ideal. Entonces parece que $f(J)$ es cerrado bajo la multiplicación por $B$.

Qué suposición errónea de que estoy haciendo?

Answer 1

Tienes razón, no es necesario. Sin embargo, tal vez más tarde que él quiere señalar el hecho siguiente: Hay un bijection de los ideales de $A$ contiene $K$ e ideales de $B$. Te dan una dirección: Si $J$ es un ideal de a $A$ $f(J)$ es un ideal de a $B$. El inverso de este mapa está dada por: Si $I$ es un ideal de a $B$ $f^{-1}(I)$ es un ideal de a $A$ que contiene $K$.

Edit: con esta podemos responder a Jon O pregunta en el comentario de abajo: Si $B$ es un campo y $I$ es un ideal de a $A$ que contiene $\ker f$ adecuadamente, entonces $f(I)$ es un ideal de a $B$ que contiene $0$ correctamente. Ya que cada elemento distinto de cero de a $B$ es una unidad de $f(I)$ debe ser la totalidad de $B$. Por lo anterior hemos $I=f^{-1}(f(I))=f^{-1}(B)=A$, por lo que cada ideal correctamente contengan $\ker f$ es el total de $A$, es decir, $\ker f$ es máxima.