Serie Laurent en la frontera

Question

Supongamos que $f(z)$ es analítico para $|z| \geq 1$ entonces es analítica en $|z| >1$ y por lo tanto tiene una serie de Laurent $f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n,~\forall |z| > 1$ . ¿Es también cierto que $f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n$ en la frontera $|z|=1$ ?

Otra cuestión relacionada es si $\sum_{n=0}^\infty c_n z^{-n}$ es analítico en $|z| \geq 1$ ¿es cierto que $\sum_{n=0}^\infty |c_n| < \infty$ ?

Gracias,

Answer 1

¿Qué se entiende exactamente por "analítico en un conjunto cerrado"? La convención más común es que significa "analítica en una vecindad abierta del conjunto cerrado".

Si ese es el caso, $f$ es analítico en $|z| > r$ para algunos $r < 1$ y la respuesta a tus dos preguntas es sí: la serie de Laurent converge de forma absoluta y uniforme en cada $1 \le |z| \le R$ .

Answer 2

Una pista: En la frontera $|z|=1$ si dejamos que $z=e^{i\theta}$ entonces la serie se convierte en

$$ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\theta }. $$

¿Le recuerda esta serie a alguna conocida?