Débilmente cerrado implica secuencialmente cerrado

Question

Otro problema relacionado con la topología débil:

Dejemos que $X$ sea un espacio normado y $A \subset X$ débilmente cerrado. Entonces $A$ es secuencialmente cerrado, es decir: Si $(x_n) \subset A$ y $x_n \xrightarrow{w}x$ entonces $x \in A$ .

Sé que esta caracterización también se utiliza como definición de débilmente cerrado. Así que supongo que debería ser fácil de demostrar. Sin embargo, tengo problemas para hacerlo ;(

He intentado demostrarlo directamente y hacia una contradicción sin éxito. Me temo que mi problema es la falta de comprensión de la cerrazón débil. Sé cómo se generan los conjuntos débilmente abiertos, pero esto no me da una representación concreta de ellos, o de un subconjunto débilmente cerrado.

Sin embargo, sé que $A$ también es cerrado con respecto a la norma de $X$ . Convergencia débil de $(x_n)$ a $x$ significa $f(x_n) \rightarrow f(x)$ por cada $f \in X^*$ . Pero no me da ninguna declaración relacionada con la convergencia de la norma de $(x_n)$ al menos no que yo sepa. Por lo tanto, el cierre de la norma de $A$ no ayuda realmente. También he podido averiguar que el cierre de la norma no es suficiente para el cierre con respecto a la convergencia débil - creo que hay que añadir la convexidad para que la implicación sea válida, ¿es eso correcto?

Así que, por supuesto, tengo que fallar si la convergencia débil con la convergencia de la norma solo.

He tratado de trabajar con bolas alrededor $f(x)$ también (por una contradicción). Pero, de nuevo, la continuidad de $f$ sólo me da el control sobre $|f(x_n)-f(x)|$ si tengo algo de atadura para $||x_n-x||$ . Y yo lo quiero al revés. Tengo la sensación de que esta forma es errónea porque necesitaría alguna implicación entre la convergencia débil y la norma que sé que no existe...

Me da rabia que la prueba debería ser bastante sencilla y sin embargo no soy capaz de hacerla. ¿Alguna pista, por favor? :(

Answer 1

En lugar de decir " $A$ es secuencialmente cerrado", la conclusión del problema debería decir realmente que $A$ es "débilmente cerrado" o "débilmente cerrado".

El problema es pedir que se demuestre que cerrado en la topología débil implica secuencialmente cerrado en la topología débil.

Se puede dar una solución que no utilice en absoluto las particularidades de la topología débil. Para cualquier espacio topológico, cerrado implica secuencialmente cerrado.

Dejemos que $X$ sea cualquier espacio topológico y sea $A$ cualquier subconjunto cerrado de $X$ . Tenemos que demostrar que $A$ es secuencialmente cerrado. Sea $x \in X$ y $(x_n) \subseteq A$ sea tal que $x_n \to x$ . Tenemos que mostrar $x \in A$ . Sea $U$ sea una vecindad abierta arbitraria de $x$ . Desde $x_n \to x$ tenemos $x_n \in U$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ y así $U$ contiene al menos un punto de $A$ . Desde $U$ era una vecindad abierta arbitraria de $x$ Esto demuestra que $x$ está en el cierre de $A$ . Desde $A$ está cerrado, $x$ está en $A$ .

Answer 2

SUGERENCIA: Si entiendes la topología del producto en un producto arbitrario de espacios topológicos, puedes usarla para entender mejor la topología débil en $X$ : como la topología débil en $X$ La topología del producto es un ejemplo de topología inicial .

La topología débil en $X$ es la topología más gruesa en $X$ que hace que todos $f\in X'$ continua. Para cada $f\in X'$ dejar $R_f$ sea una copia de $\Bbb R$ con la topología habitual. Entonces el mapa

$$\varphi:X\to\prod_{f\in X'}R_f:x\mapsto\langle f(x):f\in X'\rangle$$

es una incrustación. Así, podemos utilizar la base habitual de la topología del producto para definir una base de la topología débil sobre $X$ :

Dejemos que $\tau$ sea la topología en $\Bbb R$ . Para cada finito $F\subseteq X'$ y $U:F\to\tau$ dejar $$B(F,U)=\{x\in X:f(x)\in U(f)\text{ for each }f\in F\}\;.$$ La familia de todos estos conjuntos $B(F,U)$ es una base para la topología débil en $X$ .

Ahora arreglar $x\in X$ . Para cada finito $F\subseteq X'$ y $\epsilon>0$ dejar $$B(F,\epsilon)=\{y\in X:|f(x)-f(y)|<\epsilon\text{ for each }f\in F\}\;;$$ la familia de todos esos conjuntos es una base local nbhd en $x$ en la topología débil. En particular, si $A\subseteq X$ es débilmente cerrado, y $x\notin A$ entonces hay un número finito de $F\subseteq X'$ y un $\epsilon>0$ tal que $B(F,\epsilon)\cap A=\varnothing$ es decir, tal que

$$\text{for each }y\in A\text{ there is an }f\in F\text{ such that }|f(x)-f(y)|\ge\epsilon\;.\tag{1}$$

Supongamos ahora que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ es una secuencia en $A$ que converge débilmente a $x$ . Utilice $(1)$ y la finitud de $F$ a $x$ para obtener una contradicción.

Answer 3

¿No puedes decir que desde $A$ es débilmente cerrado entonces $A$ es fuertemente cerrado, entonces $A$ está cerrado secuencialmente? Porque creo que todo conjunto débilmente cerrado es fuertemente cerrado y en los espacios métricos (estamos en un espacio normado que significa en un espacio métrico) (fuertemente) ser conjunto cerrado es equivalente a ser secuencialmente cerrado.