¿Es el Álgebra de Derivación functorial

Question

Supongamos que $A$ es un conmutativo, asociativo $k$ -álgebra con unidad y $Der(A)\subset End_k(A,A)$ es el álgebra de derivaciones en $A$ es decir la subálgebra de endomorfismos, tal que

$D(ab)=D(a)b+aD(b)$ para todos $a,b\in A$ y $D\in Der(A)$ .

¿Es este functorial en la categoría de conmutativa, asociativa $k$ -de las álgebras? En caso afirmativo, ¿cómo son los morfismos apropiados $Der(f):Der(A)\to Der(B)$ obtenido de $f:A\to B$ y si no ¿por qué? ¿Qué es lo que falla?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Der}{Der}$ La noción correcta aquí no es $\Der(A)$ Es $\Der_k(A,M)$ . Es functorial en la categoría $\mathcal{C}$ :

• cuyos objetos son pares $(A,M)$ donde $A$ es un $k$ -y el álgebra $M$ es un $A$ -módulo;
• cuyos morfismos $(A,M) \to (B, N)$ son pares $(f, \phi)$ donde:
  • $f : A \to B$ es un morfismo de álgebras;
  • $\phi : f^* N \to M$ es un mapa de $A$ -(donde $f^* N$ tiene la estructura inducida por $f$ ).

La composición de $(f, \phi) : (A, M) \to (B, N)$ y $(g, \psi) : (B,N) \to (C,P)$ viene dada por $gf$ y el mapa $(gf)^* P = f^* (g^* P) \xrightarrow{f^* \psi} f^* N \xrightarrow{\phi} M$ .

$\Der_k$ está dada por: $$\Der{}_k(A,M) = \{ D : A \to M \mid D(ab) = D(a) b + a D(b) \}$$

Entonces se trata de un functor contravariante sobre $\mathcal{C}$ : si $(f,\phi) : (A,M) \to (B,N)$ el mapa inducido $\Der(f,\phi) : \Der(B,N) \to \Der(A,M)$ viene dada por $$\Der(f,\phi)(D)(a) = \phi(D(f(a)))$$