Primas entre cuadrados de primos

Question

¿Sigue abierto este problema? Sé que Henri Brocard conjeturó que hay al menos cuatro primos en el intervalo entre cada par de cuadrados consecutivos de primos a partir del nueve. http://mathworld.wolfram.com/BrocardsConjecture.html

Sé que la conjetura de Brocard sigue abierta. Pregunto si existe ya una prueba para que sólo haya un primo entre cada par de cuadrados consecutivos de primos. ¿Es un problema con o sin nombre? ¿Dónde puedo encontrar una referencia al respecto o alguna información sobre los progresos realizados en este sentido?

Answer 1

Una referencia, entre otras, sobre estos problemas es el documento Sobre las conjeturas de Legendre, Brocard, Andrica y Oppermann por Germán Andrés Paz. Su "Conjetura $1$ " relacionada con la conjetura de Brocard como sigue. Denotemos $p_n$ y $p_{n+1}$ dos primos sucesivos mayores que $2$ . Desde $p_{n+1}-p_n\ge 2$ sabemos que hay un número entero positivo $k$ con $p_n<k<p_{n+1}$ . Por lo tanto, tenemos $p_n^2<k^2<p_{n+1}^2$ . Por conjetura $1$ hay al menos dos primos entre $p_n^2$ y $k^2$ y entre $k^2$ y $p_{n+1}^2$ . Por lo tanto, tenemos al menos $4$ primos entre $p_n^2$ y $p_{n+1}^2$ . De ahí se desprende la conjetura de Brocard.

Así que creo, Conjetura $1$ La conjetura de Brocard y "su conjetura" (que es una variante de éstas) siguen abiertas.