Quiero señalar algo que es potencialmente engañosa acerca de Marek respuesta. La n-categorías en las que menciona no son categorías, pero las generalizaciones de ellos, así que la pregunta sigue siendo, ¿por qué categorías sólo un 2-categoría, que es, ¿por qué la gente parada después de categorías, functors, y natural de las transformaciones? ¿Por qué la gente no definir las modificaciones de las naturales transformaciones?
Creo que es bueno darse cuenta de que las categorías son realmente de una forma esencial a sólo 2 categorías, si desea interesante superior morfismos usted necesita para definir algo como una categoría más alta. Una manera de pensar acerca de esto es la siguiente: natural tranformations son básicamente homotopies. Para hacer de este exacto, tome la I a la categoría con dos objetos, 0 y 1, uno de morfismos de 0 a 1 y la identidad de morfismos. Entonces, es fácil comprobar que para especificar un natural tranformation entre dos functors F y G (tanto functors C → D) es la misma como la especificación de un functor H : C × I → D, que coincide con F en C × {0} y con G a C × {1}.
Así entonces podríamos tener mayor morfismos diciendo que están homotopies de homotopies, es decir, functors C × I × I con las debidas restricciones. Esto funciona, y realmente llegamos alguna definición de la modificación, pero no es muy interesante, ya que se reduce a sólo el trayecto de la plaza de transformaciones naturales, es decir, que puede ser descrito en términos de la estructura que ya tenía.
Esto es similar a lo que ocurre, por ejemplo, para grupos: se puede pensar en un grupo como una categoría con un objeto único, donde todos los morfismos son invertible (los morfismos son el grupo de elementos y la composición de la ley es el producto de grupo). Entonces el grupo de homomorphisms son simplemente functors. Esto la hace sonar como si los grupos de ahora por arte de magia tienen un mayor tipo de morfismos: natural tranformations entre functors! Y de hecho lo hacen, incluso, son útiles en ciertos contextos, pero no son terriblemente interesante: una transformación natural entre el grupo homomorphisms f y g es simplemente un elemento de grupo y tal que f(x) = y g(x) y -1 . De nuevo, esto se describe en términos de cosas que ya de nuevo (el elemento de grupo y de la conjugación), y no es realmente un nuevo concepto.
