Integral de contorno del logaritmo sobre la potencia fraccionaria

Question

Quiero calcular la integral $I=\int_0^\infty \frac{\ln x}{x^a(1+x)} dx, 0<a<1$ utilizando la integral de contorno.

Intenté abordar el problema considerando la función $f(z)=\frac{\log z}{z^a(1+z)}$ donde el argumento de $\log z$ está en el rango $(0, 2\pi)$ e integrando sobre el "contorno pacman" en sentido contrario a las agujas del reloj 1 . Es normal demostrar que las integrales sobre el arco grande y el arco pequeño convergen a cero cuando tomamos el límite, así que queda calcular las dos integrales sobre el eje real positivo. Este es mi trabajo:

La integral a lo largo de la trayectoria ligeramente superior al eje real es exactamente $I$ . La integral a lo largo de la trayectoria ligeramente inferior al eje real (con límites de integración invertidos) es

$\int_0^\infty \frac{\log z}{z^a(1+z)} dz = \int_0^\infty \frac{\log x + 2\pi i}{e^{a (\log x + 2\pi i)}(1+x)}dx=e^{-2\pi ia}I + e^{-2\pi i a}2\pi i \int_0^\infty \frac{1}{x^a (1+x)}dx$

Entonces el valor de la integral de contorno es $(1-e^{-2\pi ia})I-e^{-2\pi i a}2\pi i \int_0^\infty \frac{1}{x^a (1+x)}dx=2\pi i \mathrm{res}(f, -1)$ . Pero esto no me da la respuesta correcta. ¿Puede alguien indicarme dónde me he equivocado en el cálculo?

Answer 1

Esto se resuelve fácilmente mediante el truco de Feynman y la función Beta. Para cualquier $a\in(0,1)$ tenemos $$ f(a) = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^a(1+x)}\stackrel{\frac{1}{1+x}\mapsto z}{=} \int_{0}^{1}z^{a-1}(1-z)^{-a}\,dz=\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\frac{\pi}{\sin(\pi a)}$$ así que $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\log(x)\,dx}{x^a(1+x)} = -f'(a) = \color{red}{\frac{\pi^2\cos(\pi a)}{\sin^2(\pi a)}}.$$