Equivalencia de la norma de la matriz

Question

Si definimos $ \|A\| = \max \{|A\cdot \mathbf{t}|:|\mathbf{t}|\leq 1\}.$ es lo mismo que definirlo como $\max \{|A\cdot \mathbf{t}|:|\mathbf{t}|= 1\}$ ? Si es así, ¿por qué? El libro que estoy siguiendo utiliza la primera definición y mientras buscaba en la web alguna pista para mi pregunta, encontré esta otra.

Se agradece cualquier ayuda ;)

Answer 1

La definición de una norma de operador es la siguiente: si $A:V\to W$ entonces $$\|A\|:=\sup_{v\in V,\,v\not=0}{\|Av\|\over \|v\|}.$$ Aquí, el numerador es la norma del vector en $W$ mientras que el denominador es la norma vectorial en $V$ .

Si $V$ y $W$ son de dimensión finita, este supremum es un máximo (es decir, se alcanza el menor límite superior). Entonces, por la linealidad de $A$ y propiedades de las normas (vectoriales), $$ \sup_{v\in V,\,v\not=0}{\|Av\|\over \|v\|}=\sup_{v\in V,\,v\not=0}\left\|{1\over \|v\|}Av\right\|=\sup_{v\in V,\,v\not=0}\|A(v/\|v\|)\|=\sup_{v\in V,\|v\|=1}\|Av\|. $$ Espero que eso ayude.