Divergencia del campo eléctrico no conservativo

Question

Estoy buscando la prueba de que la 1ª ecuación de Maxwell es válida también en un campo eléctrico no conservativo.

Cuando hablamos de un campo electrostático, la ecuación está bien. Podemos aplicar el teorema de Gauss (o del flujo) y obtener Ley de Gauss :

$$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} ~=~ \frac{1}{\epsilon _0} \rho (x,y,z).$$

La pregunta es, ¿por qué cuando hay un campo magnético dependiente del tiempo, y luego un campo eléctrico inducido dependiente del tiempo (no conservador), la 1ª ecuación de Maxwell es la misma?

¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Como has dicho, y para que quede completamente claro, en el vacío (despreciando, en otras palabras, los efectos en los medios macroscópicos como la polarización), la ley de Gauss es la expresión completa y dependiente del tiempo de lo que estás llamando la "primera ecuación de Maxwell".

La "derivación" de las ecuaciones de Maxwell se formuló originalmente como versiones diferenciales (locales) de las conocidas leyes empíricas de Ampere, Faraday y Gauss. Esto se discute un poco en el libro de Jackson ("Classical Electrodynamics"). Véase también el libro de Griffith ("Intro to Electrodynamics").

Las ecuaciones de Maxwell no se derivan realmente de consideraciones más fundamentales. Su forma integral (las "leyes" citadas anteriormente) se dedujeron a partir de la observación, se compararon con fenómenos no utilizados originalmente en la determinación de las "leyes" empíricas y se comprobó que, en algunos regímenes, funcionaban.

En el régimen de la física atómica, Planck descubrió que la supuesta radiación continua de una carga acelerada predecía un espectro de cuerpo negro a gran frecuencia en contradicción con el observado. Y esto llevó a una modificación de la electrodinámica clásica y al advenimiento de la teoría cuántica.

Sin embargo, la forma de las ecuaciones de Maxwell está fuertemente limitada por la invariancia bajo transformaciones de Lorentz. Jackson lo analiza en el capítulo 11.

Answer 2

Gran pregunta. Casi todos los autores no demuestran que sea necesaria una mayor justificación para obtener la ley de Gaus para campos eléctricos inducidos (dependientes del tiempo)

La tercera ecuación de Hertz para el campo electrostático es una generalización de la ley de Gauss para los campos electrostáticos a la que se llega de la siguiente manera

$$\nabla \cdot E_{static} = \frac{Q}{e}$$ - Ley de Gaus para campos electrostáticos (independientes del tiempo).

Del hecho de que el campo eléctrico inducido no tiene fuentes (piense en el experimento de inducción de la bobina de Faradays con un núcleo redondo y recto colocado en el centro de la bobina de inducción para evitar asimetrías que distraigan. El campo E inducido es radialmente simétrico - otra forma de decirlo es: el EMF inducido está distribuido), se deduce de inmediato que

$$\nabla \cdot E_{induced} = 0$$ (Usa el teorema de la divergencia para convencerte)

Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos la forma diferencial de la tercera ecuación de Maxwell-Hertz:

$$\nabla \cdot E_{total} = \nabla \cdot [E_{static} + E_{induced}] = 0$$

en ausencia de cargos