Reforzar una desigualdad

Question

Estoy leyendo un libro y hay un problema de ejemplo que dice así:

Demostrar que $$ \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) ... \left(\frac{2n-1}{2n}\right) \le \left(\frac{1}{\sqrt {3n}}\right). $$ Al principio, el libro intenta resolverlo de inmediato utilizando la inducción, pero obtiene una desigualdad falsa. Luego dice que la desigualdad original es demasiado débil y que hay que reforzarla. El libro refuerza la desigualdad sustituyendo 3n con 3n+1 para que la desigualdad se convierta en $$ \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) ... \left(\frac{2n-1}{2n}\right) \le \left(\frac{1}{\sqrt {3n+1}}\right). $$ Entonces, utilizando la inducción, se obtiene una prueba sólida.

¿Por qué es esto correcto? Es decir, ¿por qué puedes reforzar una desigualdad así? Si tuvieras

$$ x \lt 2 $$ y refuerzas la desigualdad para que sea $$ x \lt 3, $$ Está claro que no se puede demostrar que x es menor que 2 demostrando que es menor que 3 (por ejemplo, si x=2,5). ¿O es algo que sólo funciona cuando se utiliza la inducción? ¿O es que lo he entendido mal?

Answer 1

Tal vez me equivoque, pero creo que la razón para probar $$ \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\leq \frac{1}{\sqrt{3n}} $$ demostrando una desigualdad más fuerte, es sólo que la desigualdad más fuerte $$ \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}} $$ es mucho más fácil de demostrar por inducción. Así que es sólo una razón técnica.

De todos modos, también podemos observar que, para cualquier $n\geq 2$ :

$$\begin{align*} \left(\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\right)^2 &= \frac{1}{4}\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)\prod_{k=2}^{n}\left(1+\frac{1}{4k(k-1)}\right)\\&\leq \frac{1}{4n}\prod_{k=2}^{n}\exp\left(\frac{1}{4k(k-1)}\right)\\&\leq \frac{1}{4n}\cdot\exp\left(\sum_{k\geq 2}\frac{1}{4k(k-1)}\right)=\frac{e^{1/4}}{4n}\end{align*} $$ por lo tanto:

$$ \forall n\geq 2,\qquad \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\leq \sqrt{\frac{1}{(4e^{-1/4})\,n}}\leq \sqrt{\frac{1}{\left(3+\frac{1}{9}\right) n}}$$

que es aún más fuerte. También puede reemplazar esa $3+\frac{1}{9}$ con un $\pi$ , pero tal resultado requiere alguna forma del producto de Wallis para ser demostrado.