Dividir $$\frac{x^{4} + 2x^{2}-2x-3}{x^{2}+ 7x+10}$$ utilizando la división larga polinómica. Por favor, muestre el paso a paso ya que no estoy seguro.
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Michael Rozenberg
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$$x^4+2x^2-2x-3=$$ $$=x^4+7x^3+10x^2-7x^3-49x^2-70x+41x^2+287x+410-219x-413=$$ $$=(x^2-7x+41)(x^2+7x+10)-219x-413,$$ que dice $$\frac{x^4+2x^2-2x-3}{x^2+7x+10}=x^2-7x+41+\frac{-219x-413}{x^2+7x+10}.$$
También podemos utilizar $x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$
y el teorema del resto polinómico, pero es muy feo.
lhf
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83572
Anon
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96
La respuesta a tu pregunta es utilizando el algoritmo que has conocido para la división euclidiana de enteros (digo entonces la división por el método de la caja que has aprendido en la escuela), pero aplicando dicho algoritmo para polinomios (fíjate que se puede justificado ya que el algoritmo euclidiano y el teorema de Euclides se mantienen para el anillo de polinomios con coeficientes enteros). Para entender las respuestas/comentarios también hay que combinar con el teorema de Euclides $$\text{dividend}=\text{divisor}\cdot\text{quotient}+\text{remainder},$$ y la regla de división que dice que puede realizar un paso de su algoritmo (método de la caja) para calcular una división parcial cuando $$\deg(\text{polynomial being a dividend})\geq \deg(\text{polynomial being a divisor}).$$ Aquí $\deg$ denota el grado de esos polinomios.
Una pista:
Pruebe su algoritmo, la división por casillas, con un ejemplo de juguete, por ejemplo con el dividendo $3x^2+2$ y el divisor $x+1$ . Entonces el cociente es $3x-3$ y el resto $5$ .
O ejemplos más sencillos como dividendos $x-3$ y el divisor $x-1$ , mira la división por casillas, obviamente aquí el cociente es $1$ y el reaminador $-2$ . Dado que el grado del polinomio $-2$ es menor que el grado de nuestro cociente $x-1$ hemos terminado este segundo ejemplo de juguete, y se puede escribir como, utilizando el enunciado de Euclides, $$\frac{x-3}{x-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x-1},$$ ya que hemos dividido por $x-1$ .
Me gustaría escribir mi explicación con su ejemplo y utilizando la división por casillas, el problema es que mis habilidades escribiendo tex no son los mejores.
Fíjate que si quieres saber más sobre el método que evoco, si quieres, puedes buscar las palabras clave: división de polinomios, método de la caja . Entonces deberías encontrar diferentes recursos donde los ejemplos como los que he evocado fueron resueltos explícitamente.
