Resolución de una ecuación integral (posiblemente de Estocolmo, de primer tipo) que contiene exponenciales cuádricas con transformadas de Fourier

Question

He estado leyendo un artículo de economía sobre la inatención racional de Sims (enlace: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0304393203000291 ) y he intentado seguir sus pasos en la resolución del problema y también cambiar la condición de optimización respecto al previo.

En general, estoy tratando de resolver esta ecuación integral específica:

$$\int_{-\infty}^{\infty}q(y|x)\pi (x)e^{\alpha (y-x)^{2}}dy=1$$

donde $$\pi (x) = e^{-\frac{1}{2\sigma ^{2}}(x^{2}+\epsilon x^{4})}$$ y $q(y|x)$ es la distribución de probabilidad posterior desconocida que estoy buscando.

Mi intento

Si Soy capaz de moverme $\pi(x)$ en el lado derecho, esta ecuación se parece mucho a la que podría resolverse con transformadas de Fourier, ya que el término exponencial se parece mucho a un núcleo y podría convulsionarse con $q(y|x)$ . Pero no estoy seguro de que eso sea posible, ya que no creo que pueda simplemente dividir por $\pi(x)$ en ambos lados. No tengo la base matemática de por qué esto se siente mal, pero también $\frac{1}{\pi(x)}$ no sería integrable al cuadrado.

¿A dónde voy a partir de aquí?

Answer 1

Bueno, ya que $\pi(x)$ se puede sacar de la integración, se puede intentar reescribir la expresión como una convolución, pero falla así:

$$\int_{-\infty}^{\infty}q(y|x)\pi (x)e^{\alpha (y-x)^{2}}dy$$

$$\pi(x) \int_{-\infty}^{\infty}q(y|x)e^{\alpha (x-y)^{2}}dy$$

De lo cual, uno puede estar tentado a escribir $$\pi(x) \left[q(x|x) * e^{\alpha x^{2}} \right] $$ pero eso no es correcto, como se puede ver cuando se intenta escribir esa operación de convolución de nuevo en forma integral.

No tengo una respuesta real para ti sobre dónde ir después.

Si quieres seguir escribiéndola como una convolución y utilizando la Transformada de Fourier, entonces tienes que tomar medidas para reescribir $q(y|x)$ en la integral para deshacerse de su dependencia de $x$ .