Escribe el resultado de la integral gaussiana como una distribución normal

Question

Quiero escribir las ecuaciones generales para resolver la siguiente integral $$\int_{\Bbb R} N(x;\mu_1,\sigma^2_1) \cdot N(x;\mu_2, \sigma^2_2)\mathrm dx$$ .

Se me ocurrió la siguiente solución: $$\frac{\sqrt{2\pi\sigma^2_a}}{\sqrt{2\pi\sigma^2_1} \cdot \sqrt{2\pi\sigma^2_2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(-\left(\frac{\mu_1\sigma^2_2 + \mu_2\sigma^2_1}{\sigma_1\sigma_2\sqrt{\sigma^2_1+\sigma^2_2}}\right)^2 + \frac{\mu^2_1}{\sigma^2_1} + \frac{\mu_2^2}{\sigma_2^2}\right)}$$ donde $\sigma_a^2 = \frac{\sigma^2_1\sigma^2_2}{\sigma^2_1+\sigma^2_2}$ y $\mu_a = \frac{\mu^1\sigma^2_2 + \mu_2\sigma^2_1}{\sigma^2_1 + \sigma_2^2}$ . Estas ecuaciones también se pueden encontrar aquí

Lo que trato de hacer ahora es expresar la ecuación anterior de nuevo como una distribución normal en forma de $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2 / (2\sigma^2)}$$ . ¿Puede darme una pista sobre cómo conseguirlo?

Answer 1

Dejemos que $X_1\sim\mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2)$ y $X_2\sim\mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)$ . Utilizando la notación del enlace que has proporcionado, podemos escribir las funciones de densidad de $X_i$ como $$ f_{X_i}(t)=\frac{\sqrt p_i}{\sqrt\pi}e^{-p_i(t+c_i)^2},\quad i=1,2, $$ donde $p_i=\frac{1}{2\sigma_i^2}$ y $c_i=-\mu_i$ .

Ahora, se deduce que \begin{eqnarray*} f_{X_1}(t)\cdot f_{X_2}(t) &=& \frac{\sqrt{p_1p_2}}{\pi}e^{-p_1(t+c_1)^2} e^{-p_2(t+c_2)^2}\\ &=& \frac{\sqrt{p_1p_2}}{\pi}e^{-p_1 t^2 - 2 p_1 c_1 t - p_1 c_1^2 -p_2 t^2 - 2 p_2 c_2 t - p_2 c_2^2}\\ &=& \frac{\sqrt{p_1p_2}}{\pi}e^{-(p_1+p_2) t^2 - 2 (p_1 c_1 + p_2 c_2) t - (p_1 c_1^2 + p_2 c_2^2)}\\ &=& \frac{\sqrt{p_1p_2}}{\pi}e^{-(p_1+p_2)\left[t^2 + 2\frac{p_1 c_1 + p_2 c_2}{p_1 + p_2} t + \frac{p_1 c_1^2 + p_2 c_2^2}{p_1 + p_2}\right]} \end{eqnarray*} Completando el cuadrado, obtenemos $$ f_{X_1}(t)\cdot f_{X_2}(t) = \frac{\sqrt{p_1p_2}}{\pi}e^{-p_1 p_2 \frac{(c_1 - c_2)^2}{p_1 + p_2}} \cdot e^{-(p_1+p_2)(t+c)^2}, $$ donde, $c= \frac{p_1 c_1 + p_2 c_2}{p_1 + p_2}$ . Reintroducción de la $p_i$ y $c_i$ da \begin{eqnarray*} f_{X_1}(t)\cdot f_{X_2}(t) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{1}{2}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t+c)^2}{2(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2})^{-1}}}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1\sigma_2\sqrt{\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2}}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2}}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t+c)^2}{2(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2})^{-1}}}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_1^2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}} \cdot \underbrace{\frac{\sqrt{\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2}}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t+c)^2}{2(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2})^{-1}}}}_{(\ast)}. \end{eqnarray*} Observe que $(\ast)$ es una pdf normal con media $-c$ y la varianza $(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2})^{-1}$ . Por lo tanto, \begin{eqnarray*} \int_{\Bbb R}f_{X_1}(t)\cdot f_{X_2}(t)\,\mathrm dt &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_1^2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\underbrace{\int_{\Bbb R}\frac{\sqrt{\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2}}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t+c)^2}{2(\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_1^2})^{-1}}}\,\mathrm dt}_{=1} \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \int_{\Bbb R}f_{X_1}(t)\cdot f_{X_2}(t)\,\mathrm dt &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_1^2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}, \end{eqnarray*} que es el resultado deseado.