Cálculo de la k-ésima raíz de Dirichlet de una función aritmética invertible

Question

Dejemos que $f$ sea una función aritmética $f^{*k}:=f*...*f$ k veces es la k-ésima convolución de Dirichlet. Una función aritmética $g$ se dice que es una raíz de Dirichlet k-ésima de una función aritmética $f$ si $g^{*k}=f$ . Demuestre que si $f(1)\neq 0$ entonces tiene exactamente k raíces de Dirichlet. Además, si $f$ es multiplicativa entonces exactamente una de las k raíces es también multiplicativa.

He pensado en definir $g$ inductivamente, pero se me complica la condición al aplicar la definición de la convolución de Dirichlet. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes la idea correcta, sólo tienes que usar una definición más bonita de la convolución de Dirichlet: $$f*g(n)=\sum_{ab=n}f(a)g(b)$$ Así que $$f^{*k}(n)=\sum_{a_1\cdots a_k=n}f(a_1)\cdots f(a_k)$$ Entonces la inducción es bastante sencilla: hay $k$ opciones para $g(1)$ y la recurrencia nos da una ecuación lineal para $g(n)$ en función de los valores previamente seleccionados.