Dejemos que $L = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ sea una extensión finita, con todo $\alpha_i$ excepto $\alpha_n$ separable sobre $F$ entonces $L$ tiene un elemento primitivo

Question

Estoy atascado en este ejercicio de la Teoría de Galois de David Cox.

Dejemos que $F \subset L = F(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ sea una extensión finita, y supongamos que $\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}$ son separables sobre $F$ . Demostrar que $L$ tiene un elemento primitivo.

Por el teorema del elemento primitivo aplicado a $F(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1})$ Hay un $\alpha$ en $L$ tal que $F(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) = F(\alpha)$ . Así que sólo tengo que demostrar que $F(\alpha, \alpha_n)$ tiene un elemento primitivo, donde $\alpha_n$ es algebraico.

Pero no veo cómo proceder a partir de aquí, ya que no tengo esa $\alpha_n$ es separable.

Answer 1

La cuestión es que cuando se demuestra el teorema del elemento primitivo, es decir, que $L:=F(\alpha,\beta)=F(\gamma)$ para algunos $\gamma\in L$ se necesita separabilidad para sólo uno de las raíces, digamos $\beta$ (este es el único caso que importa, pues se puede reducir inductivamente a él).

Toma $\alpha_i, i=1,\dots, r$ y $\beta_j, j=1,\dots, s$ son las raíces distintas de los polinomios mínimos de $\alpha,\beta$ respectivamente en un campo de división. Como se puede suponer $F$ sea infinito (si no, la prueba es muy fácil), se puede encontrar $c\in F$ tal que $\theta:=\alpha+c\beta$ difiere de cualquier $\alpha_i+c\beta_j$ los elementos de la forma $\frac{\alpha-\alpha_i}{\beta-\beta_j}$ ser finito.

Si $\mu\in F[x]$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ , tienes que $\overline{\mu}(x):=\mu(\theta-cx)\in F(\theta)[x]$ verifica $\overline{\mu}(\beta)=0$ y $\overline{\mu}(\beta_j)\neq 0$ para todos $\beta_j\neq\beta$ . Por la separabilidad de $\beta$ en $F$ (y por tanto de $F(\theta)$ ), si $\nu(x)\in F[x]$ es el polinomio mínimo de $\beta$ se obtiene que $\text{gcd}(\nu(x),\overline{\mu}(x))= x-\beta$ en un campo de división $\overline{F}\supset F(\theta)$ .

Pero $\text{gcd}$ no dependen de la extensión, por lo que se necesita $\beta\in F(\theta)$ , que se mantiene fácilmente $\alpha\in F(\theta)$ . Por lo tanto, $F(\theta)=F(\alpha,\beta)$ .