Evaluar $\lim_{b\to\infty} \int_0^b \frac{\sin x}{x}\, dx= \frac{\pi}{2}$

Question

Posible duplicado:
Resolver la integral $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} \ dx = \frac{\pi}{2}$ ?

Utilizando la identidad $$\lim_{a\to\infty} \int_0^a e^{-xt}\, dt = \frac{1}{x}, x\gt 0,$$ ¿puedo obtener una pista para mostrar que $$\lim_{b\to\infty} \int_0^b \frac{\sin x}{x} \,dx= \frac{\pi}{2}.$$

Answer 1

Una pista: $$\begin{align} \lim_{b\to \infty}\int_{0}^{b}\frac{\sin x}{x}dx &= \lim_{a,b\to \infty}\int_{0}^{b}\int_{0}^{a}e^{-xt}dt\sin x dx\\& = \lim_{a,b\to \infty}\int_{0}^{b}dt\int_{0}^{a}e^{-xt}\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} dx \\&=\lim_{a,b\to \infty}\int_{0}^{b}dt\int_{0}^{a}\frac{e^{-(t-i)x}-e^{-(i+t)x}}{2i} dx\end{align}$$ .

Answer 2

El procedimiento habitual es el siguiente:

$$\mathcal L \left\{ \frac {\sin t} {t}\right\}(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st}\frac {\sin t} {t}dt$$

Tenemos que para cualquier $f(t)$ tal que la transformación existe

$$\mathcal L \left\{ \frac {f(t)} {t}\right\}(s)=\int\limits_0^\infty f(t)\frac {e^{-st}} {t}dt$$

Pero

$$\frac {e^{-st}} {t}=\int\limits_s^\infty e^{-mt}dm$$

Bajo condiciones apropiadas podemos intercambiar el orden de las integradas y poner

$$\mathcal L \left\{ \frac {f(t)} {t}\right\}(s)=\int\limits_s^\infty \int\limits_0^\infty f(t) e^{-mt}dm dt$$

Esto significa que

$$\mathcal L \left\{ \frac {f(t)} {t}\right\}(s)=\int\limits_s^\infty F(t) dt$$

donde $F$ es la transformación de $f$ . Usando esto con $\sin t$ da

$$\mathcal L \left\{ \frac {\sin t} {t}\right\}(s)=\int\limits_s^\infty \frac{1}{1+t^2} dt = \frac{\pi}{2}-\tan^{-1}s$$

$$\int\limits_0^\infty e^{-st} \frac{\sin t}{t} dt=\int\limits_s^\infty \frac{1}{1+t^2} dt = \frac{\pi}{2}-\tan^{-1}s$$

Tomando $s \to 0$

$$\lim\limits_{s \to 0} \int\limits_0^\infty e^{-st} \frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}$$

Para el último paso, hay que demostrar que

$$\lim\limits_{s \to 0} \int\limits_0^\infty e^{-st} \frac{\sin t}{t}dt=\int\limits_0^\infty \frac{\sin t}{t}dt$$

Sé que se puede utilizar el teorema de la convergencia dominada (que no está en mi alijo personal), y quizá algún otro teorema, pero soy incapaz de demostrarlo, aunque sé que es legítimo (la exponencial suele hacer que las cosas funcionen).

Answer 3

Demasiado largo para un comentario

1. Transformación de Laplace: $$\mathcal{L}\left[ \frac{f(x)}{x} \right] = \int_{0}^{\infty} \frac{f(x)}{x} e^{-yx}\, dx = \int_{y}^{\infty} \mathcal{L}\left[f(x)\right]\, ds$$

2. La identidad: $$y = 0 \implies e^{-yx} = 1$$

3. Transformación de Laplace: $$\mathcal{L}\left[\sin(x)\right] = \frac{1}{1+s^2}$$

4. Integración: $$\int \frac{1}{1+s^2}\, ds = \tan^{-1}(s)$$

5. Trig $$\tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$$