Evitar la Constante de Integración

Question

Yo a veces escribir encontrar y mantener un registro de las constantes de integración, un tanto sucio trabajo. Sí, a veces es necesario, pero en muchas situaciones que he encontrado en mi nivel de matemáticas, es una pérdida de tiempo y de espacio.

Una exagerada ejemplo: $$f"(x) = g"(x)\\ \stackrel{\int\text{ing}}{\implica} f'(x) + C_1 = g'(x) + C_2\\ \stackrel{\int\text{ing}}{\implica} f(x) + C_3 + C_1x + C_4= g(x) + C_5 + C_2x + C_6\\ \implica f(x) = g(x) + C_ax + C_b $$ donde $C_a = C_2 - C_1$ $C_b = C_6 + C_5 - C_4 - C_3$

^{Esto parece una cantidad ridícula de seguimiento en determinados casos, y a menudo me acaba de combinar muchas de las constantes en una sola toma sin misericordia en la mayoría de los problemas que tengo y nunca explicar las fuentes de las constantes (porque realmente no importa)
$\times$ A algunas personas que conozco de evitar distinguir los constantes con sólo marcar todos como $C$ y sólo distinguir entre los coeficientes y las constantes como he ilustrado en el último paso de mi ejemplo.
$\times$ Algunos otros estudiantes de dejar fuera de las constantes todos juntos y escribir un "+ C " sólo en el último paso, pero no se dan cuenta de que ellos son a menudo descuidar términos donde las constantes se convierten en los coeficientes.}

$\Large\star$ No es un misterio de por qué la constante le hace cosquillas a la gente perezosa huesos. El letargo actitud casi todo el mundo muestra hacia ella, es porque ese "+ C " es sólo molesto. Claro, puede parecer necesario, pero ¿qué pasa en simplificaciones?

$$ \begin{align} \int f'(x)\ \mathrm dx &= f(x) + C \\ &= f_1(x) + C \\ &= f_2 (x) + C \\ &= f_3 (x) + C \\ &= \dots \\ &= f_n(x) + C\\ \end{align}$$

donde $f_{k\in \mathbb N}(x)$ es una forma simplificada de $f(x)$

Su uso es monótono y parece absolutamente innecesario durante simplificación.

Mi pregunta es, por lo tanto este:

¿Cómo se puede quitar la constante de integración durante la simplificación de las ecuaciones y cuáles son las restricciones en tales ocultar?

Gracias de antemano.

Edit: estoy buscando una notación que sería válidamente permitir una neglection de la constante durante la simplificación de las ecuaciones diferenciales. Imagina 100 pasos de la simplificación. El +C sería molesto. Disculpas si este punto no fue claro a través de mi perorata.

Answer 1

No creo que hay una forma estándar de hacerlo pero, por supuesto, usted puede inventar su sobre. En este caso, una relación de equivalencia o, más bien, una secuencia de las relaciones de equivalencia:

Para las funciones de $f, g$, vamos a $f \equiv_d g$ si existe un polinomio $p$ de grado en la mayoría de las $d$, de tal manera que $f = g +p$. En este caso, desea $\deg 0 = -1$.

Tenemos $f \equiv_{-1} g$ fib $f=g$ e integrar eleva el grado $d$ por uno.

Su ejemplo se convierte en $$\int f'(x) \operatorname{d}x \equiv_0 f(x) = f_1(x) = \dots = f_n(x)$$ y en un segundo paso $$\int f'(x) \operatorname{d}x = f_n(x) + C.$$

Edit: En esta respuesta, he definido el símbolo $\equiv$ (si no te gusta, se puede reemplazar por otra cosa, decir $\sim$). De otra manera la frase de la definición es la siguiente: Para las funciones de $f, g$$d \in \{-1, 0, 1, 2, \dots \}$, vamos a $f \equiv_d g$ si la diferencia de $f - g$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $d$. Para cada $d$, $\equiv_d$ es una relación de equivalencia – la prueba es fácil.

Ligeramente abusando de la notación (voy a identificar una función $f$ con sus términos, $f(x)$ por razones de brevedad), tenemos por ejemplo

• $f(x) \equiv_{-1} g(x)$ si y sólo si $f = g$, debido a que el único grado-$(-1)$ polinomio es el polinomio cero, por lo $f - g = 0$, es decir,$f = g$.
• $\sin x \equiv_0 \sin x + 15$, debido a $15$ es un grado-$0$ polinomio
• $f(x) \equiv_d f(x) + c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \dots + c_0$, debido a $c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \dots + c_0$ es un grado-$d$ polinomio

Ahora, cuando $f''(x) = g''(x)$, sabemos que $f'(x) + C = g'(x) + D$ con constantes $C, D \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, $f'(x) - g'(x) = D - C$ que es constante, es decir, un grado-$0$ polinomio. Usando la notación definida anteriormente, podemos escribir $f \equiv_0 g$, eliminando la explícita constante.

Esto también funciona para los grados superiores. Dicen que conocemos $f'(x) \equiv_d g'(x)$. Entonces existe un grado-$d$ polinomio $p$ o más explícitamente los números reales $c_0, \dots, c_d$, de tal manera que $f'(x) - g'(x) = p(x) = c_d x^d + \dots + c_0$. Integración: $$f(x) - g(x) = \frac{c_d}{d+1} x^{d+1} + \dots + c_0 x + C$$ que es un grado-$(d+1)$ polinomio. Por lo tanto $f \equiv_{d+1} g$.

Lo bonito de una relación de equivalencia es que se comporta en muchos aspectos, como la igualdad. Por ejemplo, se puede utilizar en una cadena como la igualdad $$f_0(x) = f_1(x) \equiv_d f_2(x) = f_3(x)$$ si usted tenga en cuenta que sólo se puede deducir $f_0(x) \equiv_d f_3(x)$ e no $f_0(x) = f_3(0)$.

También tenga en cuenta que esta notación es no estándar. Si quieres usarlo y a otros a entender esto, usted tendrá que dar la definición.

Answer 2

Usted podría reducir el número de sus constantes por la mitad mediante el uso de sólo una constante cada vez que se integran. Por ejemplo, a la hora de resolver $$r'(x)=s'(x)$$ escribe la respuesta como $$r(x)=s(x)+C_1$$ en lugar de (como lo estaban haciendo) $$r(x)+C_1=s(x)+C_2$$ Utilizando sólo una constante a la hora de integrar ambos lados de una ecuación es perfectamente riguroso y la prueba es obvia.

AÑADIÓ:

1) Otra posibilidad es el uso de constantes como $c,d,e,\ldots$ (o $k,l,m,\ldots$ o $p,q,r,\ldots$ o $\alpha,\beta,\gamma,\ldots$) en lugar de $C_1,C_2,C_3,\ldots$. Esto no reduce el número de constantes, pero sí reduce el molesto subíndices y la hacen lucir como hay menos constantes.

2) Cuando escribió: "a menudo me acaba de combinar muchas de las constantes en una sola toma sin misericordia..." pensé que querías decir cosas como cambiar $\pm C_1e^{x+C_2}$$C_1e^x$, que es menos riguroso. Utilizando sólo una constante por la integración es una obviedad.

Answer 3

Aquí es una forma de evitar el problema:

$\int f'(x) \mathrm dx = f(x) + C$ algunos $C$. Así

$$\begin{align} \int f'(x)\ \mathrm dx - C &= f(x) \\ &= f_1(x) \\ &= f_2 (x) \\ &= f_3 (x) \\ &= \dots \\ &= f_n(x) \\ \end{align}$$

Por lo tanto, $\int f'(x) \mathrm dx = f_n(x) + C$ algunos $C$.

No creo que esto es exactamente lo que estábamos buscando, pero luego tengo la sospecha de que lo que usted está buscando no existe.

Answer 4

Para la fácil situación de integración, se puede escribir

$$ ∫f(x)dx ∋ F(x) = F_1(x) = ... = F_n(x)\\ \text{por lo tanto} ∫f(x)dx = F_n(x) + C $$

Es porque se puede decir que la primitiva operador de la función que realmente le da el conjunto de todas las primitivas de las funciones, todos los que difieren por una constante. Entonces, para ser coherente, se puede decir que la segunda igualdad es un conjunto de igualdad y $C$ es un conjunto de todas las constantes.

Answer 5

En ciertas circunstancias, la notación de Landau (aka Big-O notación) puede ser usado para esto. Así, por ejemplo, el primer ejemplo sería algo como: $$ f"(x) = g"(x)\\ \stackrel{\int\text{ing}}{\implica} f'(x) + O(1) = g'(x) + O(1)\\ \stackrel{\int\text{ing}}{\implica} f(x) + O(x) = g(x) + O(x)\\ \implica f(x) = g(x) + O(x) $$

y el segundo ejemplo se vería (tal vez no como una gran mejora):

$$ \begin{align} \int f'(x)\ \mathrm dx &= f(x) + O(1) \\ &= f_1(x) + O(1) \\ &= f_2 (x) + O(1) \\ &= f_3 (x) + O(1) \\ &= \dots \\ &= f_n(x) + O(1)\\ \end{align} $$

La advertencia sería que esto probablemente debería ser utilizado sólo cuando usted no se preocupan demasiado acerca de lo que se elide por el Big O (por ejemplo: $x + \frac{1}{log(x)} = O(x)$). Y, sí, puede ser algo de la limpieza con el uso del signo igual con Big O notación en estos contextos (véase la Wikipedia sección en esto) y si usted no tiene cuidado, usted podría terminar disparo de sí mismo. Pero, yo creo que si sus usos son principalmente como su primer ejemplo, creo que algunos preservación y/o el uso cuidadoso de Big os podría ayudar.